Номер 635, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

635. a) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2}\cos \alpha$;

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)$;

в) $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha + \cos \alpha)$;

г) $\frac{1}{2}\sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha$.

а) Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha $.

Для преобразования этого выражения воспользуемся формулами сложения для тригонометрических функций. Заметим, что коэффициенты при $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ являются значениями косинуса и синуса угла $\frac{\pi}{6}$:

$ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \sin\alpha \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos\alpha \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $

Полученное выражение является развернутой формулой синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.

В нашем случае $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{6} $. Таким образом, выражение сворачивается в:

$ \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $

Ответ: $ \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $

б) Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $.

Сначала раскроем скобки:

$ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $

Коэффициент $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ является значением как синуса, так и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \cos\alpha \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\alpha \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $

Это выражение соответствует формуле косинуса суммы: $ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $.

Здесь $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{4} $. Следовательно, выражение равно:

$ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $

Ответ: $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $

в) Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) $.

Раскроем скобки:

$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha $

Как и в предыдущем пункте, используем значения синуса и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $. Подставим их так, чтобы получить формулу синуса суммы:

$ \sin\alpha \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\alpha \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $

Это формула синуса суммы: $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.

В данном случае $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{4} $. Таким образом, получаем:

$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $

Ответ: $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $

г) Исходное выражение: $ \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha $.

Коэффициенты $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ являются значениями косинуса и синуса угла $ \frac{\pi}{3} $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \sin\alpha \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\alpha \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $

Это выражение соответствует формуле синуса суммы: $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.

Здесь $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{3} $. Таким образом, выражение упрощается до:

$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) $

Ответ: $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) $