Номер 641, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

641. а) $ \sin \alpha + \sin 3\alpha; $

в) $ \sin 3\alpha - \sin 5\alpha; $

д) $ \sin \alpha + \cos \alpha; $

б) $ \cos 3\alpha - \cos \alpha; $

г) $ \cos 7\alpha + \cos \alpha; $

е) $ \cos \alpha - \sin \alpha. $

а) Для преобразования суммы синусов в произведение воспользуемся формулой суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $.
Применим эту формулу для выражения $ \sin \alpha + \sin 3\alpha $, где $ x = \alpha $ и $ y = 3\alpha $. Для удобства поменяем слагаемые местами (от этого сумма не изменится):
$ \sin 3\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin \frac{4\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha}{2} = 2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha) $.
Ответ: $ 2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha) $.

б) Для преобразования разности косинусов в произведение воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} $.
Применим эту формулу для выражения $ \cos 3\alpha - \cos \alpha $, где $ x = 3\alpha $ и $ y = \alpha $:
$ \cos 3\alpha - \cos \alpha = -2 \sin \frac{3\alpha+\alpha}{2} \sin \frac{3\alpha-\alpha}{2} = -2 \sin \frac{4\alpha}{2} \sin \frac{2\alpha}{2} = -2 \sin(2\alpha) \sin(\alpha) $.
Ответ: $ -2 \sin(2\alpha) \sin(\alpha) $.

в) Для преобразования разности синусов в произведение воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} $.
Применим эту формулу для выражения $ \sin 3\alpha - \sin 5\alpha $, где $ x = 3\alpha $ и $ y = 5\alpha $:
$ \sin 3\alpha - \sin 5\alpha = 2 \sin \frac{3\alpha-5\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha+5\alpha}{2} = 2 \sin \frac{-2\alpha}{2} \cos \frac{8\alpha}{2} = 2 \sin(-\alpha) \cos(4\alpha) $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-z) = -\sin(z) $, получаем:
$ -2 \sin(\alpha) \cos(4\alpha) $.
Ответ: $ -2 \sin(\alpha) \cos(4\alpha) $.

г) Для преобразования суммы косинусов в произведение воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $.
Применим эту формулу для выражения $ \cos 7\alpha + \cos \alpha $, где $ x = 7\alpha $ и $ y = \alpha $:
$ \cos 7\alpha + \cos \alpha = 2 \cos \frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos \frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos \frac{8\alpha}{2} \cos \frac{6\alpha}{2} = 2 \cos(4\alpha) \cos(3\alpha) $.
Ответ: $ 2 \cos(4\alpha) \cos(3\alpha) $.

д) Для преобразования данного выражения сначала приведем его к сумме одноименных функций, используя формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
$ \sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
Теперь воспользуемся формулой суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $:
$ \sin \alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 2 \sin \frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} \cos \frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = 2 \sin \frac{\pi/2}{2} \cos \frac{2\alpha - \pi/2}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) $.
Так как $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) $.
Ответ: $ \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) $.

е) Для преобразования этого выражения также приведем его к разности одноименных функций. Воспользуемся формулой приведения $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
$ \cos \alpha - \sin \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \sin \alpha $.
Теперь применим формулу разности синусов $ \sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} $:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \sin \alpha = 2 \sin \frac{(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \alpha}{2} \cos \frac{(\frac{\pi}{2} - \alpha) + \alpha}{2} = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{2} - 2\alpha}{2} \cos \frac{\pi/2}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) \cos(\frac{\pi}{4}) $.
Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ 2 \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) $.
Ответ: $ \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) $.