Страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

638. Запишите формулу:

а) суммы синусов;

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

б) разности синусов;

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$

в) суммы косинусов;

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

г) разности косинусов.

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$

а) суммы синусов

Формула суммы синусов преобразует сумму синусов двух углов в произведение тригонометрических функций. Сумма синусов углов $\alpha$ и $\beta$ равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Ответ: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

б) разности синусов

Формула разности синусов преобразует разность синусов двух углов в произведение тригонометрических функций. Разность синусов углов $\alpha$ и $\beta$ равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.

Ответ: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}$

в) суммы косинусов

Формула суммы косинусов преобразует сумму косинусов двух углов в произведение тригонометрических функций. Сумма косинусов углов $\alpha$ и $\beta$ равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Ответ: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

г) разности косинусов

Формула разности косинусов преобразует разность косинусов двух углов в произведение тригонометрических функций. Разность косинусов углов $\alpha$ и $\beta$ равна взятому с отрицательным знаком удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

Ответ: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

Представьте в виде произведения (639—642):

639. а) $\sin 20^\circ + \sin 10^\circ$;

б) $\sin 60^\circ - \sin 30^\circ$;

в) $\cos 70^\circ + \cos 20^\circ$;

г) $\cos 80^\circ - \cos 30^\circ$.

а) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула суммы синусов:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
Применим эту формулу для выражения $\sin 20^\circ + \sin 10^\circ$, где $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 10^\circ$:
$\sin 20^\circ + \sin 10^\circ = 2 \sin\left(\frac{20^\circ + 10^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{20^\circ - 10^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{30^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{10^\circ}{2}\right) = 2 \sin 15^\circ \cos 5^\circ$
Ответ: $2 \sin 15^\circ \cos 5^\circ$

б) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула разности синусов:
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)$
Применим эту формулу для выражения $\sin 60^\circ - \sin 30^\circ$, где $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:
$\sin 60^\circ - \sin 30^\circ = 2 \sin\left(\frac{60^\circ - 30^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{60^\circ + 30^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{30^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right) = 2 \sin 15^\circ \cos 45^\circ$
Ответ: $2 \sin 15^\circ \cos 45^\circ$

в) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула суммы косинусов:
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
Применим эту формулу для выражения $\cos 70^\circ + \cos 20^\circ$, где $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 20^\circ$:
$\cos 70^\circ + \cos 20^\circ = 2 \cos\left(\frac{70^\circ + 20^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{70^\circ - 20^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{50^\circ}{2}\right) = 2 \cos 45^\circ \cos 25^\circ$
Ответ: $2 \cos 45^\circ \cos 25^\circ$

г) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула разности косинусов:
$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
Применим эту формулу для выражения $\cos 80^\circ - \cos 30^\circ$, где $\alpha = 80^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:
$\cos 80^\circ - \cos 30^\circ = -2 \sin\left(\frac{80^\circ + 30^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{80^\circ - 30^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{110^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{50^\circ}{2}\right) = -2 \sin 55^\circ \sin 25^\circ$
Ответ: $-2 \sin 55^\circ \sin 25^\circ$

640. a) $cos \frac{\pi}{5} - cos \frac{\pi}{4};$

б) $sin \frac{\pi}{14} + sin \frac{\pi}{3};$

в) $sin \frac{\pi}{3} - sin \frac{\pi}{4};$

г) $cos \frac{\pi}{10} + cos \frac{\pi}{5}.$

а) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула: $cos \alpha - cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Применим эту формулу для выражения $cos\frac{\pi}{5} - cos\frac{\pi}{4}$, где $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Сначала вычислим полусумму и полуразность углов:
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi+5\pi}{20}}{2} = \frac{9\pi}{40}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi-5\pi}{20}}{2} = \frac{-\pi}{20} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{40}$.
Теперь подставим эти значения в формулу:
$cos\frac{\pi}{5} - cos\frac{\pi}{4} = -2 \sin\frac{9\pi}{40} \sin(-\frac{\pi}{40})$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:
$-2 \sin\frac{9\pi}{40} (-\sin\frac{\pi}{40}) = 2 \sin\frac{9\pi}{40} \sin\frac{\pi}{40}$.
Ответ: $2 \sin\frac{9\pi}{40} \sin\frac{\pi}{40}$.

б) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Применим эту формулу для выражения $\sin\frac{\pi}{14} + \sin\frac{\pi}{3}$, где $\alpha = \frac{\pi}{14}$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$.
Вычислим полусумму и полуразность углов:
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{14} + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\frac{3\pi+14\pi}{42}}{2} = \frac{17\pi}{84}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{14} - \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\frac{3\pi-14\pi}{42}}{2} = \frac{-11\pi}{42} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{11\pi}{84}$.
Подставим значения в формулу:
$\sin\frac{\pi}{14} + \sin\frac{\pi}{3} = 2 \sin\frac{17\pi}{84} \cos(-\frac{11\pi}{84})$.
Используя свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$, получаем:
$2 \sin\frac{17\pi}{84} \cos\frac{11\pi}{84}$.
Ответ: $2 \sin\frac{17\pi}{84} \cos\frac{11\pi}{84}$.

в) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Применим эту формулу для выражения $\sin\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}$, где $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Вычислим полуразность и полусумму углов:
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi-3\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{24}$.
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi+3\pi}{12}}{2} = \frac{7\pi}{24}$.
Подставим значения в формулу:
$\sin\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4} = 2 \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{7\pi}{24}$.
Ответ: $2 \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{7\pi}{24}$.

г) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула: $cos \alpha + cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Применим эту формулу для выражения $cos\frac{\pi}{10} + cos\frac{\pi}{5}$, где $\alpha = \frac{\pi}{10}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Вычислим полусумму и полуразность углов:
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{5}}{2} = \frac{\frac{\pi+2\pi}{10}}{2} = \frac{3\pi}{20}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{5}}{2} = \frac{\frac{\pi-2\pi}{10}}{2} = \frac{-\pi}{10} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{20}$.
Подставим значения в формулу:
$cos\frac{\pi}{10} + cos\frac{\pi}{5} = 2 \cos\frac{3\pi}{20} \cos(-\frac{\pi}{20})$.
Используя свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$, получаем:
$2 \cos\frac{3\pi}{20} \cos\frac{\pi}{20}$.
Ответ: $2 \cos\frac{3\pi}{20} \cos\frac{\pi}{20}$.

641. а) $ \sin \alpha + \sin 3\alpha; $

в) $ \sin 3\alpha - \sin 5\alpha; $

д) $ \sin \alpha + \cos \alpha; $

б) $ \cos 3\alpha - \cos \alpha; $

г) $ \cos 7\alpha + \cos \alpha; $

е) $ \cos \alpha - \sin \alpha. $

а) Для преобразования суммы синусов в произведение воспользуемся формулой суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $.
Применим эту формулу для выражения $ \sin \alpha + \sin 3\alpha $, где $ x = \alpha $ и $ y = 3\alpha $. Для удобства поменяем слагаемые местами (от этого сумма не изменится):
$ \sin 3\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin \frac{4\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha}{2} = 2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha) $.
Ответ: $ 2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha) $.

б) Для преобразования разности косинусов в произведение воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} $.
Применим эту формулу для выражения $ \cos 3\alpha - \cos \alpha $, где $ x = 3\alpha $ и $ y = \alpha $:
$ \cos 3\alpha - \cos \alpha = -2 \sin \frac{3\alpha+\alpha}{2} \sin \frac{3\alpha-\alpha}{2} = -2 \sin \frac{4\alpha}{2} \sin \frac{2\alpha}{2} = -2 \sin(2\alpha) \sin(\alpha) $.
Ответ: $ -2 \sin(2\alpha) \sin(\alpha) $.

в) Для преобразования разности синусов в произведение воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} $.
Применим эту формулу для выражения $ \sin 3\alpha - \sin 5\alpha $, где $ x = 3\alpha $ и $ y = 5\alpha $:
$ \sin 3\alpha - \sin 5\alpha = 2 \sin \frac{3\alpha-5\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha+5\alpha}{2} = 2 \sin \frac{-2\alpha}{2} \cos \frac{8\alpha}{2} = 2 \sin(-\alpha) \cos(4\alpha) $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-z) = -\sin(z) $, получаем:
$ -2 \sin(\alpha) \cos(4\alpha) $.
Ответ: $ -2 \sin(\alpha) \cos(4\alpha) $.

г) Для преобразования суммы косинусов в произведение воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $.
Применим эту формулу для выражения $ \cos 7\alpha + \cos \alpha $, где $ x = 7\alpha $ и $ y = \alpha $:
$ \cos 7\alpha + \cos \alpha = 2 \cos \frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos \frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos \frac{8\alpha}{2} \cos \frac{6\alpha}{2} = 2 \cos(4\alpha) \cos(3\alpha) $.
Ответ: $ 2 \cos(4\alpha) \cos(3\alpha) $.

д) Для преобразования данного выражения сначала приведем его к сумме одноименных функций, используя формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
$ \sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
Теперь воспользуемся формулой суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $:
$ \sin \alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 2 \sin \frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} \cos \frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = 2 \sin \frac{\pi/2}{2} \cos \frac{2\alpha - \pi/2}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) $.
Так как $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) $.
Ответ: $ \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) $.

е) Для преобразования этого выражения также приведем его к разности одноименных функций. Воспользуемся формулой приведения $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
$ \cos \alpha - \sin \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \sin \alpha $.
Теперь применим формулу разности синусов $ \sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} $:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \sin \alpha = 2 \sin \frac{(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \alpha}{2} \cos \frac{(\frac{\pi}{2} - \alpha) + \alpha}{2} = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{2} - 2\alpha}{2} \cos \frac{\pi/2}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) \cos(\frac{\pi}{4}) $.
Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ 2 \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) $.
Ответ: $ \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) $.

642. a) $\cos 40^\circ + \cos 30^\circ + \cos 20^\circ + \cos 10^\circ$;

б) $\sin 5^\circ + \sin 10^\circ + \sin 15^\circ + \sin 20^\circ$.

а)

Для решения данного выражения необходимо преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение. Для этого сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов: $cos \alpha + cos \beta = 2 \cdot cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Исходное выражение: $cos 40^{\circ} + cos 30^{\circ} + cos 20^{\circ} + cos 10^{\circ}$.

Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим для удобства вычислений:

$(cos 40^{\circ} + cos 10^{\circ}) + (cos 30^{\circ} + cos 20^{\circ})$

Применим формулу к первой группе слагаемых:

$cos 40^{\circ} + cos 10^{\circ} = 2 \cdot cos \frac{40^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{40^{\circ} - 10^{\circ}}{2} = 2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot cos 15^{\circ}$

Применим формулу ко второй группе слагаемых:

$cos 30^{\circ} + cos 20^{\circ} = 2 \cdot cos \frac{30^{\circ} + 20^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{30^{\circ} - 20^{\circ}}{2} = 2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot cos 5^{\circ}$

Теперь подставим полученные произведения обратно в исходное выражение:

$2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot cos 15^{\circ} + 2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot cos 5^{\circ}$

Вынесем общий множитель $2 \cdot cos 25^{\circ}$ за скобки:

$2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot (cos 15^{\circ} + cos 5^{\circ})$

Снова применим формулу суммы косинусов для выражения в скобках:

$cos 15^{\circ} + cos 5^{\circ} = 2 \cdot cos \frac{15^{\circ} + 5^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{15^{\circ} - 5^{\circ}}{2} = 2 \cdot cos 10^{\circ} \cdot cos 5^{\circ}$

Подставим результат в наше выражение:

$2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot (2 \cdot cos 10^{\circ} \cdot cos 5^{\circ}) = 4 \cdot cos 5^{\circ} \cdot cos 10^{\circ} \cdot cos 25^{\circ}$

Ответ: $4 \cdot cos 5^{\circ} \cdot cos 10^{\circ} \cdot cos 25^{\circ}$.

б)

Для решения данного выражения преобразуем сумму синусов в произведение. Для этого сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов: $sin \alpha + sin \beta = 2 \cdot sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Исходное выражение: $sin 5^{\circ} + sin 10^{\circ} + sin 15^{\circ} + sin 20^{\circ}$.

Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$(sin 20^{\circ} + sin 5^{\circ}) + (sin 15^{\circ} + sin 10^{\circ})$

Применим формулу к первой группе:

$sin 20^{\circ} + sin 5^{\circ} = 2 \cdot sin \frac{20^{\circ} + 5^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{20^{\circ} - 5^{\circ}}{2} = 2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot cos 7.5^{\circ}$

Применим формулу ко второй группе:

$sin 15^{\circ} + sin 10^{\circ} = 2 \cdot sin \frac{15^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{15^{\circ} - 10^{\circ}}{2} = 2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot cos 2.5^{\circ}$

Подставим полученные выражения в исходную сумму:

$2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot cos 7.5^{\circ} + 2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot cos 2.5^{\circ}$

Вынесем общий множитель $2 \cdot sin 12.5^{\circ}$ за скобки:

$2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot (cos 7.5^{\circ} + cos 2.5^{\circ})$

Теперь применим формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 \cdot cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ для выражения в скобках:

$cos 7.5^{\circ} + cos 2.5^{\circ} = 2 \cdot cos \frac{7.5^{\circ} + 2.5^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{7.5^{\circ} - 2.5^{\circ}}{2} = 2 \cdot cos 5^{\circ} \cdot cos 2.5^{\circ}$

Подставим результат в наше выражение:

$2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot (2 \cdot cos 5^{\circ} \cdot cos 2.5^{\circ}) = 4 \cdot cos 2.5^{\circ} \cdot cos 5^{\circ} \cdot sin 12.5^{\circ}$

Ответ: $4 \cdot cos 2.5^{\circ} \cdot cos 5^{\circ} \cdot sin 12.5^{\circ}$.

643. Вычислите:

а) $ \cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12}; $

б) $ \cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}; $

в) $ \sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12}; $

г) $ \sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}. $

а) Для вычисления выражения $\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим формулу, где $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$:

$\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} = 2 \cos \frac{\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = 2 \cos \frac{6\pi/12}{2} \cos \frac{4\pi/12}{2} = 2 \cos \frac{\pi/2}{2} \cos \frac{\pi/3}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}$.

Подставляя табличные значения $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

б) Для вычисления выражения $\cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования разности косинусов в произведение: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим формулу, где $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$:

$\cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} = -2 \sin \frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} \sin \frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = -2 \sin \frac{8\pi/12}{2} \sin \frac{6\pi/12}{2} = -2 \sin \frac{2\pi/3}{2} \sin \frac{\pi/2}{2} = -2 \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$.

Подставляя табличные значения $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{2}$.

в) Для вычисления выражения $\sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования суммы синусов в произведение: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим формулу, где $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$:

$\sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} = 2 \sin \frac{\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = 2 \sin \frac{6\pi/12}{2} \cos \frac{4\pi/12}{2} = 2 \sin \frac{\pi/2}{2} \cos \frac{\pi/3}{2} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}$.

Подставляя табличные значения $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

г) Для вычисления выражения $\sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Применим формулу, где $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$:

$\sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} = 2 \sin \frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} = 2 \sin \frac{6\pi/12}{2} \cos \frac{8\pi/12}{2} = 2 \sin \frac{\pi/2}{2} \cos \frac{2\pi/3}{2} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3}$.

Подставляя табличные значения $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Доказываем (644—645).

644. Докажите справедливость равенства:

a) $\sin 50^\circ + \sin 10^\circ - \cos 20^\circ = 0;$

б) $\cos 48^\circ + \sin 18^\circ - \cos 12^\circ = 0.$

Для доказательства равенства $ \sin 50^\circ + \sin 10^\circ - \cos 20^\circ = 0 $ преобразуем его левую часть. К первым двум слагаемым, $ \sin 50^\circ + \sin 10^\circ $, применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $:

$ \sin 50^\circ + \sin 10^\circ = 2 \sin\left(\frac{50^\circ + 10^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{50^\circ - 10^\circ}{2}\right) = 2 \sin 30^\circ \cos 20^\circ $.

Зная, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, продолжаем упрощение: $ 2 \sin 30^\circ \cos 20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ = \cos 20^\circ $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $ (\sin 50^\circ + \sin 10^\circ) - \cos 20^\circ = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = 0 $. Получено верное тождество $ 0 = 0 $, что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.

Для доказательства равенства $ \cos 48^\circ + \sin 18^\circ - \cos 12^\circ = 0 $ преобразуем его левую часть. Сгруппируем косинусы, $ (\cos 48^\circ - \cos 12^\circ) + \sin 18^\circ $, и к разности косинусов применим формулу $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $:

$ \cos 48^\circ - \cos 12^\circ = -2 \sin\left(\frac{48^\circ + 12^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{48^\circ - 12^\circ}{2}\right) = -2 \sin 30^\circ \sin 18^\circ $.

Зная, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, продолжаем упрощение: $ -2 \sin 30^\circ \sin 18^\circ = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = -\sin 18^\circ $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $ (\cos 48^\circ - \cos 12^\circ) + \sin 18^\circ = -\sin 18^\circ + \sin 18^\circ = 0 $. Получено верное тождество $ 0 = 0 $, что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.

645. Докажите справедливость равенства:

а) $ \cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{7\pi}{12} = 0; $

б) $ \sin \frac{3\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{5} = 0; $

в) $ \cos \frac{9\pi}{14} + \cos \frac{5\pi}{14} = 0; $

г) $ \sin \frac{3\pi}{10} - \sin \frac{7\pi}{10} = 0. $

а) Чтобы доказать равенство, воспользуемся формулой приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим второй член левой части равенства следующим образом: $\cos\frac{7\pi}{12} = \cos(\pi - \frac{5\pi}{12})$. Применяя формулу, получаем $\cos(\pi - \frac{5\pi}{12}) = -\cos\frac{5\pi}{12}$. Теперь подставим полученное выражение в исходное равенство: $\cos\frac{5\pi}{12} + (-\cos\frac{5\pi}{12}) = \cos\frac{5\pi}{12} - \cos\frac{5\pi}{12} = 0$. Таким образом, мы пришли к верному тождеству $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Заметим, что аргумент первого члена можно представить как $\frac{3\pi}{5} = \pi - \frac{2\pi}{5}$. Следовательно, $\sin\frac{3\pi}{5} = \sin(\pi - \frac{2\pi}{5}) = \sin\frac{2\pi}{5}$. Подставим это в левую часть исходного равенства: $\sin\frac{2\pi}{5} - \sin\frac{2\pi}{5} = 0$. В результате получаем верное равенство $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.

в) Применим формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Аргумент первого косинуса можно выразить как $\frac{9\pi}{14} = \pi - \frac{5\pi}{14}$. Тогда $\cos\frac{9\pi}{14} = \cos(\pi - \frac{5\pi}{14}) = -\cos\frac{5\pi}{14}$. Подставляя это в левую часть равенства, получаем: $-\cos\frac{5\pi}{14} + \cos\frac{5\pi}{14} = 0$. Получили тождество $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.

г) Воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Представим аргумент второго синуса в виде разности: $\frac{7\pi}{10} = \pi - \frac{3\pi}{10}$. Применив формулу, получим: $\sin\frac{7\pi}{10} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{10}) = \sin\frac{3\pi}{10}$. Подставим это выражение в исходное равенство: $\sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{3\pi}{10} = 0$. Мы пришли к верному тождеству $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.

646. Вычислите:

а) $ \cos 75^\circ \cdot \cos 105^\circ $

б) $ \sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ $

в) $ \cos \frac{75^\circ}{2} \cdot \cos \frac{15^\circ}{2} $

г) $ \sin 105^\circ \cdot \cos 15^\circ $