Номер 643, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

643. Вычислите:

а) $ \cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12}; $

б) $ \cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}; $

в) $ \sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12}; $

г) $ \sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}. $

а) Для вычисления выражения $\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим формулу, где $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$:

$\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} = 2 \cos \frac{\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = 2 \cos \frac{6\pi/12}{2} \cos \frac{4\pi/12}{2} = 2 \cos \frac{\pi/2}{2} \cos \frac{\pi/3}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}$.

Подставляя табличные значения $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

б) Для вычисления выражения $\cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования разности косинусов в произведение: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим формулу, где $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$:

$\cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} = -2 \sin \frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} \sin \frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = -2 \sin \frac{8\pi/12}{2} \sin \frac{6\pi/12}{2} = -2 \sin \frac{2\pi/3}{2} \sin \frac{\pi/2}{2} = -2 \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$.

Подставляя табличные значения $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{2}$.

в) Для вычисления выражения $\sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования суммы синусов в произведение: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим формулу, где $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$:

$\sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} = 2 \sin \frac{\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = 2 \sin \frac{6\pi/12}{2} \cos \frac{4\pi/12}{2} = 2 \sin \frac{\pi/2}{2} \cos \frac{\pi/3}{2} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}$.

Подставляя табличные значения $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

г) Для вычисления выражения $\sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Применим формулу, где $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$:

$\sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} = 2 \sin \frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} = 2 \sin \frac{6\pi/12}{2} \cos \frac{8\pi/12}{2} = 2 \sin \frac{\pi/2}{2} \cos \frac{2\pi/3}{2} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3}$.

Подставляя табличные значения $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.