Номер 646, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Для вычисления произведения $\cos 75^\circ \cdot \cos 105^\circ$ воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму:

$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$

Пусть $\alpha = 105^\circ$ и $\beta = 75^\circ$. Подставим значения в формулу:

$\cos 105^\circ \cdot \cos 75^\circ = \frac{1}{2}(\cos(105^\circ + 75^\circ) + \cos(105^\circ - 75^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(180^\circ) + \cos(30^\circ))$

Мы знаем значения косинусов для этих углов: $\cos 180^\circ = -1$ и $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{1}{2}(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{-2 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3} - 2}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 2}{4}$

Для вычисления произведения $\sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ$ воспользуемся формулой приведения: $\sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ$.

Тогда исходное выражение принимает вид: $\cos 15^\circ \cdot \sin 15^\circ$.

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$\cos 15^\circ \cdot \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

Для вычисления произведения $\cos\frac{75^\circ}{2} \cdot \cos\frac{15^\circ}{2}$ используем ту же формулу, что и в пункте а):

$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$

Здесь $\alpha = \frac{75^\circ}{2}$ и $\beta = \frac{15^\circ}{2}$.

$\cos\frac{75^\circ}{2} \cdot \cos\frac{15^\circ}{2} = \frac{1}{2}(\cos(\frac{75^\circ}{2} + \frac{15^\circ}{2}) + \cos(\frac{75^\circ}{2} - \frac{15^\circ}{2}))$

$\frac{1}{2}(\cos(\frac{90^\circ}{2}) + \cos(\frac{60^\circ}{2})) = \frac{1}{2}(\cos(45^\circ) + \cos(30^\circ))$

Подставляем известные значения $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4}$

Для вычисления произведения $\sin 105^\circ \cdot \cos 15^\circ$ сначала применим формулу приведения к $\sin 105^\circ$:

$\sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ$

Тогда выражение становится равным $\cos 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \cos^2 15^\circ$.

Теперь используем формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

$\cos^2 15^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos(30^\circ)}{2}$

Подставляем значение $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$