Номер 649, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

649. Докажите, что для любого угла $\alpha$ справедливо неравенство

$|\sin \alpha + \cos \alpha| \le \sqrt{2}$.

Для доказательства данного неравенства можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Метод введения вспомогательного угла

Рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля: $\sin \alpha + \cos \alpha$.

Вынесем за скобки множитель $\sqrt{2}$. Этот множитель равен $\sqrt{1^2 + 1^2}$, где $1$ и $1$ — коэффициенты при $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$.

$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right)$

Мы знаем, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на соответствующие тригонометрические функции:

$\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha \right)$

В скобках получилось выражение, которое соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

Применяя эту формулу, получаем:

$\sqrt{2} \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$

Теперь вернемся к исходному неравенству:

$|\sin \alpha + \cos \alpha| = \left| \sqrt{2} \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \right| = \sqrt{2} \left| \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \right|$

Область значений функции синус находится в пределах от $-1$ до $1$. Следовательно, модуль синуса любого угла не превышает $1$:

$\left| \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \right| \leq 1$

Умножим обе части этого неравенства на $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} \left| \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \right| \leq \sqrt{2} \cdot 1$

Отсюда следует, что:

$|\sin \alpha + \cos \alpha| \leq \sqrt{2}$

Это справедливо для любого угла $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $|\sin \alpha + \cos \alpha| \leq \sqrt{2}$ доказано.

Способ 2: Возведение в квадрат

Докажем неравенство $|\sin \alpha + \cos \alpha| \leq \sqrt{2}$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(|\sin \alpha + \cos \alpha|)^2 \leq (\sqrt{2})^2$

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 \leq 2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \leq 2$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha \leq 2$

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha \leq 2$

Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:

$1 + \sin(2\alpha) \leq 2$

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства:

$\sin(2\alpha) \leq 1$

Последнее неравенство является верным для любого действительного значения угла $\alpha$, так как максимальное значение функции синус равно $1$.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно для любого угла $\alpha$.

Ответ: Неравенство $|\sin \alpha + \cos \alpha| \leq \sqrt{2}$ доказано.