Номер 648, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (648–651).

648. Докажите справедливость равенства:
a) $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$;
б) $\cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ$;
в) $\sin 87^\circ - \sin 93^\circ - \sin 59^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ$.

а) Докажем равенство $ \sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ $.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.
Подставим значения $ \alpha = 35^\circ $ и $ \beta = 25^\circ $:
$ \sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\frac{35^\circ + 25^\circ}{2} \cos\frac{35^\circ - 25^\circ}{2} $
$ = 2 \sin\frac{60^\circ}{2} \cos\frac{10^\circ}{2} $
$ = 2 \sin 30^\circ \cos 5^\circ $
Так как $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ $
Таким образом, левая часть равна правой: $ \cos 5^\circ = \cos 5^\circ $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем равенство $ \cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ $.
Для доказательства преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой приведения $ \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) $, чтобы выразить косинус через синус:
$ \cos 20^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \sin 70^\circ $
Теперь левая часть равенства имеет вид: $ \sin 70^\circ - \sin 50^\circ $.
Применим формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $.
Подставим значения $ \alpha = 70^\circ $ и $ \beta = 50^\circ $:
$ \sin 70^\circ - \sin 50^\circ = 2 \sin\frac{70^\circ - 50^\circ}{2} \cos\frac{70^\circ + 50^\circ}{2} $
$ = 2 \sin\frac{20^\circ}{2} \cos\frac{120^\circ}{2} $
$ = 2 \sin 10^\circ \cos 60^\circ $
Так как $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ 2 \sin 10^\circ \cdot \frac{1}{2} = \sin 10^\circ $
Таким образом, левая часть равна правой: $ \sin 10^\circ = \sin 10^\circ $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

в) Докажем равенство $ \sin 87^\circ - \sin 93^\circ - \sin 59^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ $.
Сгруппируем слагаемые в левой части: $ (\sin 87^\circ - \sin 93^\circ) + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) $.
Рассмотрим первую группу $ (\sin 87^\circ - \sin 93^\circ) $. Используем формулу приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha $:
$ \sin 93^\circ = \sin(180^\circ - 87^\circ) = \sin 87^\circ $
Следовательно, $ \sin 87^\circ - \sin 93^\circ = \sin 87^\circ - \sin 87^\circ = 0 $.
Теперь левая часть равенства упрощается до $ 0 + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) = \sin 61^\circ - \sin 59^\circ $.
Применим к полученному выражению формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $.
Подставим значения $ \alpha = 61^\circ $ и $ \beta = 59^\circ $:
$ \sin 61^\circ - \sin 59^\circ = 2 \sin\frac{61^\circ - 59^\circ}{2} \cos\frac{61^\circ + 59^\circ}{2} $
$ = 2 \sin\frac{2^\circ}{2} \cos\frac{120^\circ}{2} $
$ = 2 \sin 1^\circ \cos 60^\circ $
Так как $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ 2 \sin 1^\circ \cdot \frac{1}{2} = \sin 1^\circ $
Таким образом, левая часть равна правой: $ \sin 1^\circ = \sin 1^\circ $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.