Страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

647¹. Упростите выражение:

а) $ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)} $

б) $ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} $

а)

Исходное выражение: $$ \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) + \sin(\alpha - \frac{\pi}{4})} $$

Для упрощения числителя и знаменателя воспользуемся формулой преобразования суммы синусов в произведение: $$ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $$

Преобразуем числитель. Пусть $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Тогда: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 2 \sin\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2}\right) = $$ $$ = 2 \sin\left(\frac{\frac{2\pi}{4}}{2}\right) \cos\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha) = \sqrt{2}\cos(\alpha) $$

Преобразуем знаменатель. Пусть $x = \alpha + \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{4}$. Тогда: $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \frac{\pi}{4} + \alpha - \frac{\pi}{4}}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \frac{\pi}{4} - (\alpha - \frac{\pi}{4})}{2}\right) = $$ $$ = 2 \sin\left(\frac{2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{4}}{2}\right) = 2 \sin(\alpha) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\sin(\alpha) $$

Подставим полученные выражения обратно в дробь: $$ \frac{\sqrt{2}\cos(\alpha)}{\sqrt{2}\sin(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cot(\alpha) $$

Ответ: $\cot(\alpha)$.

б)

Исходное выражение: $$ \frac{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})}{\cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)} $$

Воспользуемся свойством четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$, чтобы привести аргументы к единому виду: $\cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \cos(-(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$. Также учтем, что $\cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

Тогда выражение примет вид: $$ \frac{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)} $$

Для упрощения числителя воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение: $$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $$ Преобразуем числитель. Пусть $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4} - \alpha$: $$ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 2 \cos\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2}\right) = $$ $$ = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha) = \sqrt{2}\cos(\alpha) $$

Для упрощения знаменателя воспользуемся формулой преобразования разности косинусов в произведение: $$ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $$ Преобразуем знаменатель. Пусть $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4} - \alpha$: $$ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = -2 \sin\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2}\right) = $$ $$ = -2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin(\alpha) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\alpha) = -\sqrt{2}\sin(\alpha) $$

Подставим полученные выражения обратно в дробь: $$ \frac{\sqrt{2}\cos(\alpha)}{-\sqrt{2}\sin(\alpha)} = -\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = -\cot(\alpha) $$

Ответ: $-\cot(\alpha)$.

Доказываем (648–651).

648. Докажите справедливость равенства:
a) $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$;
б) $\cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ$;
в) $\sin 87^\circ - \sin 93^\circ - \sin 59^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ$.

а) Докажем равенство $ \sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ $.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.
Подставим значения $ \alpha = 35^\circ $ и $ \beta = 25^\circ $:
$ \sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\frac{35^\circ + 25^\circ}{2} \cos\frac{35^\circ - 25^\circ}{2} $
$ = 2 \sin\frac{60^\circ}{2} \cos\frac{10^\circ}{2} $
$ = 2 \sin 30^\circ \cos 5^\circ $
Так как $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ $
Таким образом, левая часть равна правой: $ \cos 5^\circ = \cos 5^\circ $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем равенство $ \cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ $.
Для доказательства преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой приведения $ \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) $, чтобы выразить косинус через синус:
$ \cos 20^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \sin 70^\circ $
Теперь левая часть равенства имеет вид: $ \sin 70^\circ - \sin 50^\circ $.
Применим формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $.
Подставим значения $ \alpha = 70^\circ $ и $ \beta = 50^\circ $:
$ \sin 70^\circ - \sin 50^\circ = 2 \sin\frac{70^\circ - 50^\circ}{2} \cos\frac{70^\circ + 50^\circ}{2} $
$ = 2 \sin\frac{20^\circ}{2} \cos\frac{120^\circ}{2} $
$ = 2 \sin 10^\circ \cos 60^\circ $
Так как $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ 2 \sin 10^\circ \cdot \frac{1}{2} = \sin 10^\circ $
Таким образом, левая часть равна правой: $ \sin 10^\circ = \sin 10^\circ $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

в) Докажем равенство $ \sin 87^\circ - \sin 93^\circ - \sin 59^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ $.
Сгруппируем слагаемые в левой части: $ (\sin 87^\circ - \sin 93^\circ) + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) $.
Рассмотрим первую группу $ (\sin 87^\circ - \sin 93^\circ) $. Используем формулу приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha $:
$ \sin 93^\circ = \sin(180^\circ - 87^\circ) = \sin 87^\circ $
Следовательно, $ \sin 87^\circ - \sin 93^\circ = \sin 87^\circ - \sin 87^\circ = 0 $.
Теперь левая часть равенства упрощается до $ 0 + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) = \sin 61^\circ - \sin 59^\circ $.
Применим к полученному выражению формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $.
Подставим значения $ \alpha = 61^\circ $ и $ \beta = 59^\circ $:
$ \sin 61^\circ - \sin 59^\circ = 2 \sin\frac{61^\circ - 59^\circ}{2} \cos\frac{61^\circ + 59^\circ}{2} $
$ = 2 \sin\frac{2^\circ}{2} \cos\frac{120^\circ}{2} $
$ = 2 \sin 1^\circ \cos 60^\circ $
Так как $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ 2 \sin 1^\circ \cdot \frac{1}{2} = \sin 1^\circ $
Таким образом, левая часть равна правой: $ \sin 1^\circ = \sin 1^\circ $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

649. Докажите, что для любого угла $\alpha$ справедливо неравенство

$|\sin \alpha + \cos \alpha| \le \sqrt{2}$.

Для доказательства данного неравенства можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Метод введения вспомогательного угла

Рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля: $\sin \alpha + \cos \alpha$.

Вынесем за скобки множитель $\sqrt{2}$. Этот множитель равен $\sqrt{1^2 + 1^2}$, где $1$ и $1$ — коэффициенты при $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$.

$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right)$

Мы знаем, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на соответствующие тригонометрические функции:

$\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha \right)$

В скобках получилось выражение, которое соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

Применяя эту формулу, получаем:

$\sqrt{2} \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$

Теперь вернемся к исходному неравенству:

$|\sin \alpha + \cos \alpha| = \left| \sqrt{2} \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \right| = \sqrt{2} \left| \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \right|$

Область значений функции синус находится в пределах от $-1$ до $1$. Следовательно, модуль синуса любого угла не превышает $1$:

$\left| \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \right| \leq 1$

Умножим обе части этого неравенства на $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} \left| \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \right| \leq \sqrt{2} \cdot 1$

Отсюда следует, что:

$|\sin \alpha + \cos \alpha| \leq \sqrt{2}$

Это справедливо для любого угла $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $|\sin \alpha + \cos \alpha| \leq \sqrt{2}$ доказано.

Способ 2: Возведение в квадрат

Докажем неравенство $|\sin \alpha + \cos \alpha| \leq \sqrt{2}$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(|\sin \alpha + \cos \alpha|)^2 \leq (\sqrt{2})^2$

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 \leq 2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \leq 2$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha \leq 2$

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha \leq 2$

Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:

$1 + \sin(2\alpha) \leq 2$

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства:

$\sin(2\alpha) \leq 1$

Последнее неравенство является верным для любого действительного значения угла $\alpha$, так как максимальное значение функции синус равно $1$.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно для любого угла $\alpha$.

Ответ: Неравенство $|\sin \alpha + \cos \alpha| \leq \sqrt{2}$ доказано.

Докажите справедливость равенства (650—651):

650. a) $\frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha - \cos \beta} = \cot \frac{\beta - \alpha}{2}$;

б) $\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha \right).$

а) Докажем справедливость равенства $ \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha - \cos \beta} = \operatorname{ctg} \frac{\beta - \alpha}{2} $. Для этого преобразуем левую часть.

Воспользуемся формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

Формула суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Формула разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$ \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha - \cos \beta} = \frac{2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}}{-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}} $.

При условии, что $ \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \neq 0 $, сокращаем дробь на общий множитель $ 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} $:

$ \frac{\cos \frac{\alpha-\beta}{2}}{-\sin \frac{\alpha-\beta}{2}} = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $.

Используем свойство нечетности функции котангенса, согласно которому $ -\operatorname{ctg} x = \operatorname{ctg}(-x) $:

$ -\operatorname{ctg}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \operatorname{ctg}\left(-\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right) $.

Мы преобразовали левую часть равенства к виду правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство справедливо.

б) Докажем справедливость равенства $ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) $. Для этого преобразуем левую часть.

Разделим числитель и знаменатель дроби на $ \cos \alpha $ (предполагая, что $ \cos \alpha \neq 0 $):

$ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} $.

Зная, что $ \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1 $, мы можем подставить это значение в полученное выражение:

$ \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} \alpha} $.

Полученное выражение является формулой тангенса суммы $ \operatorname{tg}(x+y) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y} $ для $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ y = \alpha $.

Следовательно, мы можем записать:

$ \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) $.

Мы преобразовали левую часть к виду правой части, чем доказали справедливость равенства.

Ответ: Равенство справедливо.

651. a) $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$;

б) $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

а) Докажем тождество $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta$

$(\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta$

Сложим полученные выражения:

$(\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) + (\cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta)$

Сгруппируем слагаемые:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta + 2 \cos \alpha \cos \beta$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$1 + 1 + 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

Упростим выражение:

$2 + 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

Применим формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$2 + 2 \cos(\alpha - \beta)$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(1 + \cos(\alpha - \beta))$

Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса (или формулой половинного угла), которая следует из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, откуда $1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x$. Подставим $2x = \alpha - \beta$, тогда $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2 \cdot \left(2 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$ доказано.

б) Докажем тождество $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin \alpha - \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta$

$(\cos \alpha - \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta$

Сложим полученные выражения:

$(\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) + (\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta)$

Сгруппируем слагаемые:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta - 2 \cos \alpha \cos \beta$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$1 + 1 - 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

Упростим выражение:

$2 - 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

Применим формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$2 - 2 \cos(\alpha - \beta)$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(1 - \cos(\alpha - \beta))$

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса (или формулой половинного угла), которая следует из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$, откуда $1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x$. Подставим $2x = \alpha - \beta$, тогда $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2 \cdot \left(2 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$ доказано.

652. Представьте в виде произведения:

а) $1 + 2 \sin \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} + \sin \alpha \right) = 2 \left( \sin \frac{\pi}{6} + \sin \alpha \right) = \dots$;

б) $1 - 2 \cos \alpha$;

в) $\sqrt{3} - 2 \sin \alpha$.

а) Для того чтобы представить выражение $1 + 2 \sin \alpha$ в виде произведения, продолжим преобразования, предложенные в условии. Сначала выносим 2 за скобки, затем заменяем $\frac{1}{2}$ на значение синуса соответствующего угла:

$1 + 2 \sin \alpha = 2(\frac{1}{2} + \sin \alpha) = 2(\sin \frac{\pi}{6} + \sin \alpha)$

Теперь к выражению в скобках применим формулу суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$2(\sin \frac{\pi}{6} + \sin \alpha) = 2 \left( 2 \sin \frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2} \right) = 4 \sin(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2})$

Ответ: $4 \sin(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2})$

б) Чтобы представить выражение $1 - 2 \cos \alpha$ в виде произведения, вынесем 2 за скобки:

$1 - 2 \cos \alpha = 2(\frac{1}{2} - \cos \alpha)$

Заменим число $\frac{1}{2}$ на значение косинуса, а именно $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$:

$2(\cos \frac{\pi}{3} - \cos \alpha)$

Применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$.

Здесь $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$2 \left( -2 \sin \frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2} \right) = -4 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2})$

Ответ: $-4 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2})$

в) Для представления выражения $\sqrt{3} - 2 \sin \alpha$ в виде произведения, вынесем 2 за скобки:

$\sqrt{3} - 2 \sin \alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin \alpha)$

Заменим число $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на значение синуса, а именно $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$2(\sin \frac{\pi}{3} - \sin \alpha)$

Применим формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$2 \left( 2 \cos \frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2} \right) = 4 \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2})$

Ответ: $4 \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2})$