Страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

624. Доказываем. Докажите формулу:

а) $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha$;

б) $\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha.$

а) Для доказательства формулы $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $. Подставим эти значения в формулу:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2}) \cos\alpha - \sin(\frac{\pi}{2}) \sin\alpha $

Мы знаем значения тригонометрических функций для угла $ \frac{\pi}{2} $: $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $ и $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $. Подставим эти значения в полученное выражение:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 0 \cdot \cos\alpha - 1 \cdot \sin\alpha = 0 - \sin\alpha = -\sin\alpha $

Таким образом, мы доказали, что $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула доказана.

б) Для доказательства формулы $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $. Подставим эти значения в формулу:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2}) \cos\alpha + \cos(\frac{\pi}{2}) \sin\alpha $

Используя те же значения, $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $, подставим их в выражение:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 1 \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = \cos\alpha + 0 = \cos\alpha $

Таким образом, мы доказали, что $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула доказана.

Упростите выражение (625–626):

625. а) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right); $

б) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right); $

в) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right); $

г) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\right); $

д) $ \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right); $

е) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right). $

а) Для упрощения выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) $ воспользуемся формулой приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) $.
Значение синуса для угла $ \frac{\pi}{6} $ является табличным: $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Для упрощения выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) $ применим формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $. Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.
Таким образом, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) $.
Табличное значение $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

в) Упростим выражение $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) $ с помощью формулы приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $. В данном выражении $ \alpha = \frac{\pi}{3} $.
Получаем: $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) $.
Из таблицы тригонометрических значений известно, что $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

г) Для упрощения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) $ используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $. В этом случае $ \alpha = \frac{2\pi}{3} $.
Значит, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) $.
Угол $ \frac{2\pi}{3} $ находится во второй четверти. Мы можем найти его значение, используя формулу $ \sin(\pi - x) = \sin(x) $.
$ \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

д) Для упрощения выражения $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.
Вынесем минус за скобки в аргументе: $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) $.
Применяя свойство четности, получаем: $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
Теперь используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Следовательно, $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

е) Выражение $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $ является стандартным случаем применения формулы приведения.
Согласно формуле приведения, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

626. a) $\sin(\pi - \alpha)$;

б) $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$;

в) $\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2}\right)$;

г) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)$;

д) $\sin\left(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}\right)$;

е) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right)$.

а)

Для упрощения выражения $ \sin(\pi - \alpha) $ воспользуемся формулой приведения. Согласно правилам приведения, если в формуле присутствует $ \pi $ или $ 2\pi $, название тригонометрической функции не изменяется. Знак результата определяется знаком исходной функции в соответствующей четверти. Угол $ \pi - \alpha $ (при условии, что $ \alpha $ - острый угол) находится во второй координатной четверти, где синус положителен.
Таким образом, $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Также можно применить формулу синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
$ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\pi)\cos(\alpha) - \cos(\pi)\sin(\alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - (-1) \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha) $.

Ответ: $ \sin(\alpha) $

б)

Для упрощения выражения $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
Теперь применим формулу приведения для $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Если в формуле присутствует $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $, синус меняется на косинус. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ (при остром $ \alpha $) находится в первой четверти, где синус положителен, поэтому знак не меняется.
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $.
Следовательно, $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\alpha) $.

Ответ: $ -\cos(\alpha) $

в)

Сначала вычислим значение аргумента синуса:
$ \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} $.
Теперь найдем значение $ \sin(-\frac{\pi}{3}) $. Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем:
$ \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) $.
Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Таким образом, $ \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $

г)

Для вычисления $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) $ можно использовать формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $.
В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{6} $, поэтому:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) $.
Значение $ \cos(\frac{\pi}{6}) $ из таблицы равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Альтернативный способ — сначала вычислить аргумент:
$ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $.
Тогда $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

д)

Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся результатом, полученным в пункте б): $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\alpha) $.
Подставив $ \alpha = \frac{\pi}{7} $, получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{7}) $.
Так как $ \frac{\pi}{7} $ не является стандартным табличным углом, ответ остается в таком виде.

Ответ: $ -\cos(\frac{\pi}{7}) $

е)

Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) $ воспользуемся формулой приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $.
Подставив $ \alpha = \frac{\pi}{7} $, получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{\pi}{7}) $.
Поскольку $ \frac{\pi}{7} $ не является стандартным табличным углом, ответ записывается в этой форме.

Ответ: $ \cos(\frac{\pi}{7}) $

627. Приведите числовое выражение к виду синуса или косинуса положительного угла, не превышающего 45°:

a) $sin 80^\circ = sin(90^\circ - 10^\circ) = \dots$;

б) $sin 70^\circ$;

в) $cos 82^\circ$.

Для решения данной задачи используются формулы приведения, которые позволяют выразить тригонометрические функции произвольного угла через функции острого угла. Основные формулы, которые нам понадобятся:

• $sin(90^\circ - \alpha) = cos(\alpha)$
• $cos(90^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$

Цель — представить каждый угол в виде $90^\circ - \alpha$, где $\alpha$ — положительный угол, не превышающий $45^\circ$.

а) Требуется привести выражение $sin 80^\circ$.
Представим угол $80^\circ$ как разность: $80^\circ = 90^\circ - 10^\circ$.
Применим формулу приведения $sin(90^\circ - \alpha) = cos(\alpha)$, где $\alpha = 10^\circ$.
Получаем: $sin 80^\circ = sin(90^\circ - 10^\circ) = cos 10^\circ$.
Угол $10^\circ$ является положительным и не превышает $45^\circ$.
Ответ: $cos 10^\circ$.

б) Требуется привести выражение $sin 70^\circ$.
Представим угол $70^\circ$ как разность: $70^\circ = 90^\circ - 20^\circ$.
Применим формулу приведения $sin(90^\circ - \alpha) = cos(\alpha)$, где $\alpha = 20^\circ$.
Получаем: $sin 70^\circ = sin(90^\circ - 20^\circ) = cos 20^\circ$.
Угол $20^\circ$ является положительным и не превышает $45^\circ$.
Ответ: $cos 20^\circ$.

в) Требуется привести выражение $cos 82^\circ$.
Представим угол $82^\circ$ как разность: $82^\circ = 90^\circ - 8^\circ$.
Применим формулу приведения $cos(90^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$, где $\alpha = 8^\circ$.
Получаем: $cos 82^\circ = cos(90^\circ - 8^\circ) = sin 8^\circ$.
Угол $8^\circ$ является положительным и не превышает $45^\circ$.
Ответ: $sin 8^\circ$.

628. Приведите числовое выражение к виду синуса или косинуса положительного угла, не превышающего $\frac{\pi}{4}$:

а) $\sin \frac{\pi}{3}$;

б) $\cos \frac{\pi}{3}$;

в) $\sin \frac{5\pi}{7}$;

г) $\cos \frac{6\pi}{13}$.

а) Требуется привести выражение $ \sin\frac{\pi}{3} $ к виду синуса или косинуса положительного угла, не превышающего $ \frac{\pi}{4} $. Угол $ \alpha = \frac{\pi}{3} $. Сравним его с $ \frac{\pi}{4} $: $ \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12} $, а $ \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} $. Так как $ \frac{4\pi}{12} > \frac{3\pi}{12} $, то $ \frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4} $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ является положительным, но превышает $ \frac{\pi}{4} $. Воспользуемся формулой приведения $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Применим эту формулу: $ \sin\frac{\pi}{3} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} $. Проверим полученный угол $ \beta = \frac{\pi}{6} $. $ \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12} $, что меньше, чем $ \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} $. Угол $ \frac{\pi}{6} $ положителен. Таким образом, условие $ 0 < \beta \le \frac{\pi}{4} $ выполняется.
Ответ: $ \cos\frac{\pi}{6} $.

б) Требуется привести выражение $ \cos\frac{\pi}{3} $. Угол $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ превышает $ \frac{\pi}{4} $, как было показано в пункте а). Воспользуемся формулой приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Применим эту формулу: $ \cos\frac{\pi}{3} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} $. Полученный угол $ \beta = \frac{\pi}{6} $ удовлетворяет условию $ 0 < \beta \le \frac{\pi}{4} $, так как $ \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \sin\frac{\pi}{6} $.

в) Требуется привести выражение $ \sin\frac{5\pi}{7} $. Угол $ \alpha = \frac{5\pi}{7} $. Сравним его с $ \frac{\pi}{4} $: $ \frac{5\pi}{7} = \frac{20\pi}{28} $, а $ \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{28} $. Так как $ \frac{20\pi}{28} > \frac{7\pi}{28} $, то $ \frac{5\pi}{7} > \frac{\pi}{4} $. Угол $ \frac{5\pi}{7} $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi $). Воспользуемся формулой приведения для синуса $ \sin\alpha = \sin(\pi - \alpha) $. $ \sin\frac{5\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{5\pi}{7}) = \sin(\frac{7\pi - 5\pi}{7}) = \sin\frac{2\pi}{7} $. Теперь у нас есть выражение $ \sin\frac{2\pi}{7} $. Проверим угол $ \frac{2\pi}{7} $ на соответствие условию. Сравним $ \frac{2\pi}{7} $ с $ \frac{\pi}{4} $: $ \frac{2\pi}{7} = \frac{8\pi}{28} $, а $ \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{28} $. Так как $ \frac{8\pi}{28} > \frac{7\pi}{28} $, то $ \frac{2\pi}{7} > \frac{\pi}{4} $. Угол все еще слишком велик. Применим еще одну формулу приведения: $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. $ \sin\frac{2\pi}{7} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi}{14} - \frac{4\pi}{14}) = \cos\frac{3\pi}{14} $. Проверим полученный угол $ \beta = \frac{3\pi}{14} $. Сравним $ \frac{3\pi}{14} $ с $ \frac{\pi}{4} $: $ \frac{3\pi}{14} = \frac{6\pi}{28} $, а $ \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{28} $. Так как $ \frac{6\pi}{28} < \frac{7\pi}{28} $, то $ \frac{3\pi}{14} < \frac{\pi}{4} $. Угол $ \frac{3\pi}{14} $ положителен. Условие $ 0 < \beta \le \frac{\pi}{4} $ выполняется.
Ответ: $ \cos\frac{3\pi}{14} $.

г) Требуется привести выражение $ \cos\frac{6\pi}{13} $. Угол $ \alpha = \frac{6\pi}{13} $. Сравним его с $ \frac{\pi}{4} $: $ \frac{6\pi}{13} = \frac{24\pi}{52} $, а $ \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{52} $. Так как $ \frac{24\pi}{52} > \frac{13\pi}{52} $, то $ \frac{6\pi}{13} > \frac{\pi}{4} $. Угол $ \frac{6\pi}{13} $ является положительным, но превышает $ \frac{\pi}{4} $. Воспользуемся формулой приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Применим эту формулу: $ \cos\frac{6\pi}{13} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{6\pi}{13}) = \sin(\frac{13\pi}{26} - \frac{12\pi}{26}) = \sin\frac{\pi}{26} $. Проверим полученный угол $ \beta = \frac{\pi}{26} $. Так как $ 26 > 4 $, то $ \frac{\pi}{26} < \frac{\pi}{4} $. Угол $ \frac{\pi}{26} $ положителен. Таким образом, условие $ 0 < \beta \le \frac{\pi}{4} $ выполняется.
Ответ: $ \sin\frac{\pi}{26} $.