Страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

607. Запишите формулу:

а) косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

б) косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Вычислите, не пользуясь таблицей или калькулятором (608—610):

а) Формула косинуса разности двух углов, которые мы обозначим как $\alpha$ и $\beta$, является одной из основных тригонометрических тождеств сложения. Она позволяет выразить косинус разности двух углов через тригонометрические функции этих углов. Формула записывается следующим образом:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Словесно эту формулу можно выразить так: косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов плюс произведение синусов этих углов.

Ответ: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

б) Формула косинуса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$ также относится к основным тригонометрическим тождествам сложения. Она похожа на формулу косинуса разности, но отличается знаком между двумя произведениями. Формула имеет вид:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Словесно эта формула звучит так: косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.

Ответ: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

608. а) $ \cos 15^\circ $;

б) $ \cos 75^\circ $;

в) $ \cos 105^\circ $.

а)

Для вычисления $ \cos 15^\circ $ представим угол $ 15^\circ $ в виде разности двух стандартных углов, например, $ 45^\circ - 30^\circ $. Воспользуемся формулой косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим $ \alpha = 45^\circ $ и $ \beta = 30^\circ $:

$ \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ $.

Мы знаем значения тригонометрических функций для стандартных углов:

$ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $

б)

Для вычисления $ \cos 75^\circ $ представим угол $ 75^\circ $ в виде суммы двух стандартных углов, например, $ 45^\circ + 30^\circ $. Воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим $ \alpha = 45^\circ $ и $ \beta = 30^\circ $:

$ \cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ $.

Используя те же значения, что и в предыдущем пункте:

$ \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

в)

Для вычисления $ \cos 105^\circ $ представим угол $ 105^\circ $ в виде суммы двух стандартных углов, например, $ 60^\circ + 45^\circ $. Воспользуемся формулой косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Подставим $ \alpha = 60^\circ $ и $ \beta = 45^\circ $:

$ \cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ $.

Значения тригонометрических функций для этих углов:

$ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставляем эти значения в формулу:

$ \cos 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $

609. a) $ \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8}; $

б) $ \sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ} + \cos 70^{\circ} \cos 10^{\circ}. $

а)

Данное выражение соответствует формуле косинуса разности двух углов:
$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

В выражении $cos\frac{3\pi}{8}cos\frac{\pi}{8} + sin\frac{3\pi}{8}sin\frac{\pi}{8}$ можно принять $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$.

Подставляем значения в формулу:
$cos\frac{3\pi}{8}cos\frac{\pi}{8} + sin\frac{3\pi}{8}sin\frac{\pi}{8} = cos(\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8})$

Выполним вычитание в аргументе косинуса:
$\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$

Таким образом, исходное выражение равно $cos(\frac{\pi}{4})$.

Это известное табличное значение:
$cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б)

Перепишем выражение, поменяв слагаемые местами для удобства:
$sin 10^\circ sin 70^\circ + cos 70^\circ cos 10^\circ = cos 70^\circ cos 10^\circ + sin 70^\circ sin 10^\circ$

Это выражение также соответствует формуле косинуса разности:
$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

В данном случае $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.

Применим формулу:
$cos 70^\circ cos 10^\circ + sin 70^\circ sin 10^\circ = cos(70^\circ - 10^\circ)$

Вычислим разность углов:
$70^\circ - 10^\circ = 60^\circ$

Следовательно, выражение равно $cos(60^\circ)$.

Это табличное значение:
$cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

610. a) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{6\pi}{7};$

б) $\sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{7\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4}.$

а) Данное выражение $ \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{6\pi}{7} $ соответствует правой части формулы косинуса суммы двух углов:
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $
В нашем случае $ \alpha = \frac{\pi}{7} $ и $ \beta = \frac{6\pi}{7} $.
Подставим наши значения в левую часть формулы, чтобы упростить выражение:
$ \cos(\frac{\pi}{7} + \frac{6\pi}{7}) $
Сложим углы в скобках:
$ \frac{\pi}{7} + \frac{6\pi}{7} = \frac{7\pi}{7} = \pi $
Теперь найдем значение косинуса:
$ \cos(\pi) = -1 $
Ответ: $-1$

б) Рассмотрим выражение $ \sin\frac{3\pi}{4}\sin\frac{7\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{4} $.
Это выражение похоже на формулу косинуса суммы, но с противоположными знаками. Вынесем минус за скобки, чтобы привести его к стандартному виду:
$ -(\cos\frac{3\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{4}\sin\frac{7\pi}{4}) $
Выражение в скобках теперь соответствует формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) $, где $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{4} $.
Применим формулу:
$ - \cos(\frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4}) $
Сложим углы в скобках:
$ \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} $
Наше выражение принимает вид:
$ -\cos(\frac{5\pi}{2}) $
Чтобы найти значение, воспользуемся периодичностью функции косинуса ($ 2\pi $):
$ \frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $
Следовательно:
$ -\cos(\frac{5\pi}{2}) = -\cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) $
Значение $ \cos(\frac{\pi}{2}) $ равно 0.
$ -0 = 0 $
Ответ: $0$

611. Упростите выражение:

а) $\cos \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) - \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right);$

б) $\cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right).$

а)

Для упрощения выражения $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $ воспользуемся формулами косинуса суммы и косинуса разности:

$ \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) $

$ \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) $

Применим эти формулы к каждому слагаемому в исходном выражении, где $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{6} $:

$ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $

$ \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = \cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $

Теперь подставим разложенные выражения в исходное и раскроем скобки:

$ \left(\cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(\cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = $

$ = \cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $ \cos(\alpha) $ взаимно уничтожаются:

$ (\cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2\sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $

Мы знаем табличное значение $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $. Подставим его в полученное выражение:

$ -2\sin(\alpha) \cdot \frac{1}{2} = -\sin(\alpha) $

Ответ: $ -\sin(\alpha) $

б)

Для упрощения выражения $ \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $ также воспользуемся формулами косинуса разности и косинуса суммы:

$ \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) $

$ \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) $

Применим формулы, где $ x = \frac{\pi}{3} $ и $ y = \alpha $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) $

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) $

Подставим в исходное выражение и раскроем скобки:

$ \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha)\right) - \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha)\right) = $

$ = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) $

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $ \cos(\alpha) $ взаимно уничтожаются:

$ (\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha)) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) $

Мы знаем табличное значение $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставим его в полученное выражение:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(\alpha) = \sqrt{3}\sin(\alpha) $

Ответ: $ \sqrt{3}\sin(\alpha) $

612. Вычислите $\cos(\alpha + \beta)$ и $\cos(\alpha - \beta)$, если $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \beta = \frac{4}{5}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Для вычисления $cos(\alpha + \beta)$ и $cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулами косинуса суммы и разности. Для этого нам необходимо знать значения $sin \alpha$, $cos \alpha$, $sin \beta$ и $cos \beta$.

По условию задачи, $sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $cos \beta = \frac{4}{5}$. Также даны интервалы для углов: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что оба угла находятся в первой координатной четверти, где все тригонометрические функции (синус и косинус) положительны.

Найдем $cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Поскольку $\alpha$ находится в первой четверти, $cos \alpha$ положителен. Следовательно, $cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Аналогично найдем $sin \beta$ из тождества $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

Поскольку $\beta$ находится в первой четверти, $sin \beta$ положителен. Следовательно, $sin \beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчетов: $sin \alpha = \frac{3}{5}$, $cos \alpha = \frac{4}{5}$, $sin \beta = \frac{3}{5}$, $cos \beta = \frac{4}{5}$.

cos(α + β)

Используем формулу косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$.

Подставим значения:

$cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

Ответ: $\frac{7}{25}$

cos(α - β)

Используем формулу косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$.

Подставим значения:

$cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.

Ответ: $1$

613. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

a) $cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha$;

б) $cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha$.

а)

Для доказательства равенства $cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha$ воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

В нашем случае $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2})\cos\alpha + \sin(\frac{3\pi}{2})\sin\alpha$.

Найдем значения косинуса и синуса для угла $\frac{3\pi}{2}$. На единичной окружности этому углу (270°) соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Следовательно:

$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Теперь подставим эти числовые значения обратно в наше выражение:

$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = (0) \cdot \cos\alpha + (-1) \cdot \sin\alpha = 0 - \sin\alpha = -\sin\alpha$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Для доказательства равенства $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$ воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

Здесь $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = \alpha$. Подставляем в формулу:

$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2})\cos\alpha - \sin(\frac{3\pi}{2})\sin\alpha$.

Используем те же значения, что и в предыдущем пункте:

$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Подставим эти значения в выражение:

$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = (0) \cdot \cos\alpha - (-1) \cdot \sin\alpha = 0 + \sin\alpha = \sin\alpha$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.