Номер 609, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

609. a) $ \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8}; $

б) $ \sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ} + \cos 70^{\circ} \cos 10^{\circ}. $

а)

Данное выражение соответствует формуле косинуса разности двух углов:
$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

В выражении $cos\frac{3\pi}{8}cos\frac{\pi}{8} + sin\frac{3\pi}{8}sin\frac{\pi}{8}$ можно принять $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$.

Подставляем значения в формулу:
$cos\frac{3\pi}{8}cos\frac{\pi}{8} + sin\frac{3\pi}{8}sin\frac{\pi}{8} = cos(\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8})$

Выполним вычитание в аргументе косинуса:
$\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$

Таким образом, исходное выражение равно $cos(\frac{\pi}{4})$.

Это известное табличное значение:
$cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б)

Перепишем выражение, поменяв слагаемые местами для удобства:
$sin 10^\circ sin 70^\circ + cos 70^\circ cos 10^\circ = cos 70^\circ cos 10^\circ + sin 70^\circ sin 10^\circ$

Это выражение также соответствует формуле косинуса разности:
$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

В данном случае $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.

Применим формулу:
$cos 70^\circ cos 10^\circ + sin 70^\circ sin 10^\circ = cos(70^\circ - 10^\circ)$

Вычислим разность углов:
$70^\circ - 10^\circ = 60^\circ$

Следовательно, выражение равно $cos(60^\circ)$.

Это табличное значение:
$cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$