Номер 603, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

603. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

а) $\frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha} = \frac{1-\sin \alpha}{\cos \alpha}$ при $\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — некоторое целое число;

б) $\frac{\cos \beta + \text{ctg} \beta}{\text{ctg} \beta} = 1+\sin \beta$ при $\beta \ne \pi k$, где $k$ — некоторое целое число.

a)

Для доказательства справедливости равенства преобразуем его левую часть. Основной метод для таких выражений — умножение числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю. В данном случае это $1 - \sin \alpha$.

$\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}$

Знаменатель теперь можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Подставим это в знаменатель нашей дроби:

$\frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)}{\cos^2 \alpha}$

Теперь можно сократить дробь на $\cos \alpha$. Это действие является корректным, поскольку по условию $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, а это означает, что $\cos \alpha \neq 0$.

$\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha}$

В результате преобразования левой части равенства мы получили его правую часть. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.

б)

Для доказательства этого равенства преобразуем его левую часть. Разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{\cos \beta + \text{ctg} \beta}{\text{ctg} \beta} = \frac{\cos \beta}{\text{ctg} \beta} + \frac{\text{ctg} \beta}{\text{ctg} \beta} = \frac{\cos \beta}{\text{ctg} \beta} + 1$

Далее используем определение котангенса: $\text{ctg} \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$. Условие $\beta \neq \pi k$ гарантирует, что $\sin \beta \neq 0$, поэтому котангенс существует.

Подставим это в первое слагаемое:

$\frac{\cos \beta}{\frac{\cos \beta}{\sin \beta}} + 1$

Упростим "двухэтажную" дробь, умножив числитель на перевернутый знаменатель:

$\cos \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + 1$

Сокращаем $\cos \beta$. Это возможно, так как для того чтобы исходное выражение имело смысл, его знаменатель $\text{ctg} \beta$ не должен равняться нулю, что в свою очередь означает $\cos \beta \neq 0$.

$\sin \beta + 1$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано для всех значений $\beta$, при которых левая часть определена.

Ответ: Равенство справедливо.