Номер 597, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

597. Определите знак выражения:

а) $ \text{tg } 71^{\circ} \text{ tg } 139^{\circ} \text{ tg } 235^{\circ} \text{ tg } 304^{\circ} \text{ tg } (-393^{\circ}) \text{ tg } 1000^{\circ}; $

б) $ \text{ctg } 282^{\circ} \text{ ctg } (-401^{\circ}) \text{ ctg } (-910^{\circ}) \text{ ctg } 140^{\circ} \text{ ctg } 240^{\circ}; $

в) $ \text{cos } 1 \text{ sin } 3 \text{ tg } 4 \text{ ctg } 5 \text{ tg } 2 \text{ tg } 6; $

г) $ \text{tg } 1{,}5 \text{ ctg } 4{,}5 \text{ tg } (-3{,}1) \text{ ctg } (-3{,}1); $

д) $ \frac{\text{sin } 6 + \text{cos } (-4)}{\text{tg } (-2) \cdot \text{ctg } (-4)}; $

е) $ \frac{\text{sin } (-8) + \text{cos } 9}{\text{cos } 11 \cdot \text{tg } (-9)}. $

а) Определим знак каждого множителя в выражении $ \text{tg } 71^\circ \text{ tg } 139^\circ \text{ tg } 235^\circ \text{ tg } 304^\circ \text{ tg}(-393^\circ) \text{ tg } 1000^\circ $.

Для определения знака тригонометрической функции необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол.

• $ \text{tg } 71^\circ $: Угол $71^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 71^\circ < 90^\circ$), где тангенс положителен. Знак: +.
• $ \text{tg } 139^\circ $: Угол $139^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 139^\circ < 180^\circ$), где тангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{tg } 235^\circ $: Угол $235^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 235^\circ < 270^\circ$), где тангенс положителен. Знак: +.
• $ \text{tg } 304^\circ $: Угол $304^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 304^\circ < 360^\circ$), где тангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{tg}(-393^\circ) $: Используем свойство нечетности тангенса $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $ и периодичность $ \text{tg}(x+360^\circ k) = \text{tg}(x) $.
  $ \text{tg}(-393^\circ) = -\text{tg}(393^\circ) = -\text{tg}(360^\circ + 33^\circ) = -\text{tg}(33^\circ) $. Угол $33^\circ$ в I четверти, $ \text{tg}(33^\circ) > 0 $, значит $ -\text{tg}(33^\circ) < 0 $. Знак: –.
• $ \text{tg } 1000^\circ $: Используем периодичность тангенса. Период тангенса равен $180^\circ$.
  $ 1000^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 100^\circ $.
  $ \text{tg}(1000^\circ) = \text{tg}(100^\circ) $. Угол $100^\circ$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Знак: –.

Перемножим знаки: $ (+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) $.
В произведении четыре отрицательных множителя. Четное число отрицательных множителей дает в итоге положительный результат.

Ответ: Знак выражения — плюс (+).

б) Определим знак каждого множителя в выражении $ \text{ctg } 282^\circ \text{ ctg}(-401^\circ) \text{ ctg}(-910^\circ) \text{ ctg } 140^\circ \text{ ctg } 240^\circ $.

• $ \text{ctg } 282^\circ $: Угол $282^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 282^\circ < 360^\circ$), где котангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{ctg}(-401^\circ) $: Используем свойство нечетности котангенса $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $ и периодичность.
  $ \text{ctg}(-401^\circ) = -\text{ctg}(401^\circ) = -\text{ctg}(2 \cdot 180^\circ + 41^\circ) = -\text{ctg}(41^\circ) $. Угол $41^\circ$ в I четверти, $ \text{ctg}(41^\circ) > 0 $, значит $ -\text{ctg}(41^\circ) < 0 $. Знак: –.
• $ \text{ctg}(-910^\circ) $: Используем нечетность и периодичность.
  $ \text{ctg}(-910^\circ) = -\text{ctg}(910^\circ) = -\text{ctg}(5 \cdot 180^\circ + 10^\circ) = -\text{ctg}(10^\circ) $. Угол $10^\circ$ в I четверти, $ \text{ctg}(10^\circ) > 0 $, значит $ -\text{ctg}(10^\circ) < 0 $. Знак: –.
• $ \text{ctg } 140^\circ $: Угол $140^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 140^\circ < 180^\circ$), где котангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{ctg } 240^\circ $: Угол $240^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$), где котангенс положителен. Знак: +.

Перемножим знаки: $ (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) $.
В произведении четыре отрицательных множителя. Четное число отрицательных множителей дает положительный результат.

Ответ: Знак выражения — плюс (+).

в) Определим знак каждого множителя в выражении $ \cos 1 \sin 3 \text{ tg } 4 \text{ ctg } 5 \text{ tg } 2 \text{ tg } 6 $. Углы даны в радианах. Используем приближенные значения: $ \pi \approx 3.14 $, $ \pi/2 \approx 1.57 $, $ 3\pi/2 \approx 4.71 $, $ 2\pi \approx 6.28 $.

• $ \cos 1 $: $ 0 < 1 < \pi/2 $, это I четверть. Косинус положителен. Знак: +.
• $ \sin 3 $: $ \pi/2 < 3 < \pi $, это II четверть. Синус положителен. Знак: +.
• $ \text{tg } 4 $: $ \pi < 4 < 3\pi/2 $, это III четверть. Тангенс положителен. Знак: +.
• $ \text{ctg } 5 $: $ 3\pi/2 < 5 < 2\pi $, это IV четверть. Котангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{tg } 2 $: $ \pi/2 < 2 < \pi $, это II четверть. Тангенс отрицателен. Знак: –.
• $ \text{tg } 6 $: $ 3\pi/2 < 6 < 2\pi $, это IV четверть. Тангенс отрицателен. Знак: –.

Перемножим знаки: $ (+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) $.
В произведении три отрицательных множителя. Нечетное число отрицательных множителей дает отрицательный результат.

Ответ: Знак выражения — минус (–).

г) Определим знак выражения $ \text{tg } 1,5 \text{ ctg } 4,5 \text{ tg}(-3,1) \text{ ctg}(-3,1) $.

Рассмотрим произведение $ \text{tg}(-3,1) \text{ ctg}(-3,1) $. Так как $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $ и $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $, то $ \text{tg}(-3,1) \text{ ctg}(-3,1) = (-\text{tg } 3,1)(-\text{ctg } 3,1) = \text{tg } 3,1 \cdot \text{ctg } 3,1 $. Поскольку $ \text{ctg}(x) = 1/\text{tg}(x) $, их произведение равно 1. $ 1 > 0 $. Знак: +.

Теперь определим знаки остальных множителей. Используем приближения: $ \pi/2 \approx 1.57 $, $ \pi \approx 3.14 $, $ 3\pi/2 \approx 4.71 $.

• $ \text{tg } 1,5 $: $ 0 < 1,5 < \pi/2 $, это I четверть. Тангенс положителен. Знак: +.
• $ \text{ctg } 4,5 $: $ \pi < 4,5 < 3\pi/2 $, это III четверть. Котангенс положителен. Знак: +.

Перемножим знаки: $ (+) \cdot (+) \cdot (+) $.
Все множители положительны, значит и произведение положительно.

Ответ: Знак выражения — плюс (+).

д) Определим знак выражения $ \frac{\sin 6 + \cos(-4)}{\text{tg}(-2) \cdot \text{ctg}(-4)} $.

Сначала определим знак числителя: $ \sin 6 + \cos(-4) $.

• $ \sin 6 $: $ 3\pi/2 \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28 $, это IV четверть. Синус отрицателен, $ \sin 6 < 0 $.
• $ \cos(-4) $: Используем свойство четности косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $. $ \cos(-4) = \cos 4 $. $ \pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71 $, это III четверть. Косинус отрицателен, $ \cos 4 < 0 $.

Числитель является суммой двух отрицательных чисел, поэтому он отрицателен: $ (\text{отриц.}) + (\text{отриц.}) < 0 $.

Теперь определим знак знаменателя: $ \text{tg}(-2) \cdot \text{ctg}(-4) $.

• $ \text{tg}(-2) $: Используем свойство нечетности $ \text{tg}(-2) = -\text{tg}(2) $. $ \pi/2 \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14 $, это II четверть, где $ \text{tg}(2) < 0 $. Значит, $ \text{tg}(-2) = -(\text{отриц.}) > 0 $.
• $ \text{ctg}(-4) $: Используем свойство нечетности $ \text{ctg}(-4) = -\text{ctg}(4) $. $ \pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71 $, это III четверть, где $ \text{ctg}(4) > 0 $. Значит, $ \text{ctg}(-4) = -(\text{полож.}) < 0 $.

Знаменатель является произведением положительного и отрицательного чисел, поэтому он отрицателен: $ (+) \cdot (-) < 0 $.

Вся дробь имеет вид $ \frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}} $. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительный результат.

Ответ: Знак выражения — плюс (+).

е) Определим знак выражения $ \frac{\sin(-8) + \cos 9}{\cos 11 \cdot \text{tg}(-9)} $.

Определим знак числителя: $ \sin(-8) + \cos 9 $.

• $ \sin(-8) $: $ \sin(-8) = -\sin(8) $. Найдем четверть для 8 радиан. $ 2\pi \approx 6.28 $, $ 5\pi/2 \approx 7.85 $, $ 3\pi \approx 9.42 $. $ 2\pi < 8 $. $ 8 - 2\pi \approx 1.72 $. $ \pi/2 \approx 1.57 < 1.72 < \pi \approx 3.14 $, значит 8 радиан — это II четверть. Здесь синус положителен, $ \sin(8) > 0 $. Следовательно, $ \sin(-8) < 0 $.
• $ \cos 9 $: $ 5\pi/2 \approx 7.85 < 9 < 3\pi \approx 9.42 $, это II четверть. Косинус отрицателен, $ \cos 9 < 0 $.

Числитель является суммой двух отрицательных чисел, поэтому он отрицателен: $ (\text{отриц.}) + (\text{отриц.}) < 0 $.

Определим знак знаменателя: $ \cos 11 \cdot \text{tg}(-9) $.

• $ \cos 11 $: $ 3\pi \approx 9.42 < 11 < 7\pi/2 \approx 10.99 $, это III четверть. Косинус отрицателен, $ \cos 11 < 0 $.
• $ \text{tg}(-9) $: $ \text{tg}(-9) = -\text{tg}(9) $. Угол 9 радиан находится во II четверти (см. выше), где тангенс отрицателен, $ \text{tg}(9) < 0 $. Значит, $ \text{tg}(-9) = -(\text{отриц.}) > 0 $.

Знаменатель является произведением отрицательного и положительного чисел, поэтому он отрицателен: $ (-) \cdot (+) < 0 $.

Вся дробь имеет вид $ \frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}} $. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительный результат.

Ответ: Знак выражения — плюс (+).