Номер 591, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

591. a) Что называют тангенсом угла $\alpha$? котангенсом угла $\alpha$?

б) Для какого угла $\alpha$ не существует $tg \alpha$? $ctg \alpha$?

в) Для каких углов $\alpha$ справедливо равенство $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$?

а) Тангенсом угла $ \alpha $ называют отношение синуса этого угла к его косинусу. Это можно записать в виде формулы: $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $. В контексте прямоугольного треугольника тангенс острого угла — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Котангенсом угла $ \alpha $ называют отношение косинуса этого угла к его синусу. Формула для котангенса: $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $. В контексте прямоугольного треугольника котангенс острого угла — это отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета.

Ответ: Тангенс угла $ \alpha $ — это отношение $ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $. Котангенс угла $ \alpha $ — это отношение $ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.

б) Тангенс угла $ \alpha $ ($ \operatorname{tg} \alpha $) определяется по формуле $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $. Данная функция не определена (не существует), когда знаменатель дроби равен нулю, то есть когда $ \cos \alpha = 0 $. Это условие выполняется для углов $ \alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k $ (в радианах $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k $), где $k$ — любое целое число.

Котангенс угла $ \alpha $ ($ \operatorname{ctg} \alpha $) определяется по формуле $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $. Данная функция не определена (не существует), когда знаменатель дроби равен нулю, то есть когда $ \sin \alpha = 0 $. Это условие выполняется для углов $ \alpha = 180^\circ \cdot k $ (в радианах $ \alpha = \pi k $), где $k$ — любое целое число.

Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha $ не существует для углов $ \alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k $, где $k \in \mathbb{Z} $. $ \operatorname{ctg} \alpha $ не существует для углов $ \alpha = 180^\circ \cdot k $, где $k \in \mathbb{Z} $.

в) Равенство $ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 $ является основным тригонометрическим тождеством. Для его проверки подставим определения тангенса и котангенса в левую часть: $ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.

При сокращении дробей получается $1$. Однако, это преобразование возможно только при условии, что оба выражения, $ \operatorname{tg} \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, существуют. Как было установлено в пункте б), $ \operatorname{tg} \alpha $ не определен, когда $ \cos \alpha = 0 $, а $ \operatorname{ctg} \alpha $ не определен, когда $ \sin \alpha = 0 $.

Следовательно, равенство $ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 $ справедливо для всех углов $ \alpha $, для которых одновременно $ \cos \alpha \neq 0 $ и $ \sin \alpha \neq 0 $. Это условие нарушается, когда угол $ \alpha $ является кратным $ 90^\circ $ (или $ \frac{\pi}{2} $ радиан). Таким образом, $ \alpha \neq 90^\circ \cdot n $ (или $ \alpha \neq \frac{\pi n}{2} $), где $n$ — любое целое число.

Ответ: Равенство справедливо для всех углов $ \alpha $, для которых $ \alpha \neq 90^\circ \cdot n $, где $n \in \mathbb{Z} $.