Номер 584, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

584. a) $ \cos 101^\circ $ и $ \cos 157^\circ $;

б) $ \cos 190^\circ $ и $ \cos 200^\circ $;

в) $ \cos 1000^\circ $ и $ \cos 2000^\circ $;

г) $ \cos 860^\circ $ и $ \cos 510^\circ $.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства функции $y = \cos(x)$:

• Периодичность: $\cos(x) = \cos(x + 360^\circ \cdot k)$ для любого целого $k$. Это позволяет нам приводить большие углы к диапазону от $0^\circ$ до $360^\circ$.
• Знаки по четвертям:
  • I четверть ($0^\circ < x < 90^\circ$): $\cos(x) > 0$
  • II четверть ($90^\circ < x < 180^\circ$): $\cos(x) < 0$
  • III четверть ($180^\circ < x < 270^\circ$): $\cos(x) < 0$
  • IV четверть ($270^\circ < x < 360^\circ$): $\cos(x) > 0$
• Монотонность:
  • Функция $\cos(x)$ убывает на промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$. Это значит, что для любых двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\cos(x_1) > \cos(x_2)$.
  • Функция $\cos(x)$ возрастает на промежутке $[180^\circ, 360^\circ]$. Это значит, что для любых двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\cos(x_1) < \cos(x_2)$.

а) Сравним $\cos 101^\circ$ и $\cos 157^\circ$.
Оба угла, $101^\circ$ и $157^\circ$, находятся во второй четверти ($90^\circ < x < 180^\circ$), где косинус отрицателен. На промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$ функция косинуса убывает. Поскольку $101^\circ < 157^\circ$, то, согласно свойству убывающей функции, $\cos 101^\circ > \cos 157^\circ$.
Ответ: $\cos 101^\circ > \cos 157^\circ$.

б) Сравним $\cos 190^\circ$ и $\cos 200^\circ$.
Оба угла, $190^\circ$ и $200^\circ$, находятся в третьей четверти ($180^\circ < x < 270^\circ$), где косинус отрицателен. На промежутке $[180^\circ, 360^\circ]$ функция косинуса возрастает. Поскольку $190^\circ < 200^\circ$, то, согласно свойству возрастающей функции, $\cos 190^\circ < \cos 200^\circ$.
Ответ: $\cos 190^\circ < \cos 200^\circ$.

в) Сравним $\cos 1000^\circ$ и $\cos 2000^\circ$.
Сначала приведем углы к основному промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$, используя периодичность функции косинуса.
Для $1000^\circ$: $1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ = 720^\circ + 280^\circ$. Следовательно, $\cos 1000^\circ = \cos 280^\circ$.
Для $2000^\circ$: $2000^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 200^\circ = 1800^\circ + 200^\circ$. Следовательно, $\cos 2000^\circ = \cos 200^\circ$.
Теперь сравним $\cos 280^\circ$ и $\cos 200^\circ$.
Угол $280^\circ$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен: $\cos 280^\circ > 0$.
Угол $200^\circ$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен: $\cos 200^\circ < 0$.
Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\cos 280^\circ > \cos 200^\circ$, а значит, $\cos 1000^\circ > \cos 2000^\circ$.
Ответ: $\cos 1000^\circ > \cos 2000^\circ$.

г) Сравним $\cos 860^\circ$ и $\cos 510^\circ$.
Приведем углы к основному промежутку.
Для $860^\circ$: $860^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 140^\circ = 720^\circ + 140^\circ$. Следовательно, $\cos 860^\circ = \cos 140^\circ$.
Для $510^\circ$: $510^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 150^\circ = 360^\circ + 150^\circ$. Следовательно, $\cos 510^\circ = \cos 150^\circ$.
Теперь сравним $\cos 140^\circ$ и $\cos 150^\circ$.
Оба угла, $140^\circ$ и $150^\circ$, находятся во второй четверти, где косинус отрицателен. На промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$ функция косинуса убывает. Поскольку $140^\circ < 150^\circ$, то $\cos 140^\circ > \cos 150^\circ$. Таким образом, $\cos 860^\circ > \cos 510^\circ$.
Ответ: $\cos 860^\circ > \cos 510^\circ$.