Номер 579, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

579. Вычислите:

a) $6\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 5\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right);$

б) $3\sin\left(-\frac{3\pi}{6}\right) - 4\cos\left(-\frac{11\pi}{2}\right) + 5\sin(7\pi) + \cos(-11\pi).$

а) $6\cos(-\frac{\pi}{6}) - 2\sin(-\frac{\pi}{6}) - 5\sin(-\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{7\pi}{6})$

Для решения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также формулами приведения.

1. Используем свойства четности косинуса ($\cos(-x) = \cos(x)$) и нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$):

$6\cos(\frac{\pi}{6}) - 2(-\sin(\frac{\pi}{6})) - 5(-\sin(\frac{5\pi}{6})) + \cos(\frac{7\pi}{6}) = 6\cos(\frac{\pi}{6}) + 2\sin(\frac{\pi}{6}) + 5\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{7\pi}{6})$

2. Применим формулы приведения для $\sin(\frac{5\pi}{6})$ и $\cos(\frac{7\pi}{6})$:

$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6})$

$\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6})$

3. Подставим полученные значения обратно в выражение:

$6\cos(\frac{\pi}{6}) + 2\sin(\frac{\pi}{6}) + 5\sin(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{6})$

4. Сгруппируем подобные слагаемые:

$(6\cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{6})) + (2\sin(\frac{\pi}{6}) + 5\sin(\frac{\pi}{6})) = 5\cos(\frac{\pi}{6}) + 7\sin(\frac{\pi}{6})$

5. Подставим табличные значения $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$:

$5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{7}{2} = \frac{7+5\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{7+5\sqrt{3}}{2}$

б) $3\sin(-\frac{3\pi}{6}) - 4\cos(-\frac{11\pi}{2}) + 5\sin(7\pi) + \cos(-11\pi)$

Упростим выражение, используя свойства тригонометрических функций и их периодичность.

1. Сначала упростим аргументы, где это возможно: $-\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.

Выражение принимает вид: $3\sin(-\frac{\pi}{2}) - 4\cos(-\frac{11\pi}{2}) + 5\sin(7\pi) + \cos(-11\pi)$.

2. Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

Первое слагаемое: $3\sin(-\frac{\pi}{2}) = 3 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{2})) = 3 \cdot (-1) = -3$.

Второе слагаемое: $-4\cos(-\frac{11\pi}{2}) = -4\cos(\frac{11\pi}{2})$. Так как период косинуса $2\pi$, представим $\frac{11\pi}{2}$ как $4\pi + \frac{3\pi}{2}$. Тогда $-4\cos(\frac{11\pi}{2}) = -4\cos(4\pi + \frac{3\pi}{2}) = -4\cos(\frac{3\pi}{2}) = -4 \cdot 0 = 0$.

Третье слагаемое: $5\sin(7\pi)$. Так как период синуса $2\pi$, представим $7\pi$ как $6\pi + \pi$. Тогда $5\sin(7\pi) = 5\sin(6\pi + \pi) = 5\sin(\pi) = 5 \cdot 0 = 0$.

Четвертое слагаемое: $\cos(-11\pi) = \cos(11\pi)$. Так как период косинуса $2\pi$, представим $11\pi$ как $10\pi + \pi$. Тогда $\cos(11\pi) = \cos(10\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.

3. Сложим полученные значения:

$-3 + 0 + 0 + (-1) = -3 - 1 = -4$

Ответ: -4