Номер 583, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Сравните (583–585):

583. а) $ \sin 91^\circ $ и $ \sin 92^\circ $;

б) $ \sin 195^\circ $ и $ \sin 200^\circ $;

в) $ \sin 354^\circ $ и $ \sin 959^\circ $;

г) $ \sin 734^\circ $ и $ \sin (-1066^\circ) $.

а) Для сравнения $sin(91^\circ)$ и $sin(92^\circ)$ рассмотрим поведение функции синуса на единичной окружности. Углы $91^\circ$ и $92^\circ$ находятся во второй четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$). В этой четверти функция $y=sin(x)$ является убывающей. Это означает, что большему значению угла соответствует меньшее значение синуса. Так как $91^\circ < 92^\circ$, то $sin(91^\circ) > sin(92^\circ)$.

Ответ: $sin(91^\circ) > sin(92^\circ)$.

б) Углы $195^\circ$ и $200^\circ$ находятся в третьей четверти (от $180^\circ$ до $270^\circ$). В этой четверти функция $y=sin(x)$ также является убывающей. Значения синуса здесь отрицательны и изменяются от $0$ до $-1$. Поскольку $195^\circ < 200^\circ$, то, следуя свойству убывающей функции, $sin(195^\circ) > sin(200^\circ)$.

Ответ: $sin(195^\circ) > sin(200^\circ)$.

в) Для сравнения $sin(354^\circ)$ и $sin(959^\circ)$ сначала приведем углы к основному промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$, используя периодичность синуса ($sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = sin(\alpha)$, где $k$ - целое число).

Для $sin(354^\circ)$: угол уже находится в этом промежутке. Он расположен в четвертой четверти. Используем формулу приведения: $sin(354^\circ) = sin(360^\circ - 6^\circ) = -sin(6^\circ)$.

Для $sin(959^\circ)$: $959^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 239^\circ = 720^\circ + 239^\circ$. Следовательно, $sin(959^\circ) = sin(239^\circ)$. Угол $239^\circ$ находится в третьей четверти. Применяем формулу приведения: $sin(239^\circ) = sin(180^\circ + 59^\circ) = -sin(59^\circ)$.

Теперь нам нужно сравнить $-sin(6^\circ)$ и $-sin(59^\circ)$. В первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) синус возрастает, поэтому $sin(6^\circ) < sin(59^\circ)$. При умножении неравенства на $-1$ знак меняется на противоположный: $-sin(6^\circ) > -sin(59^\circ)$.

Таким образом, $sin(354^\circ) > sin(959^\circ)$.

Ответ: $sin(354^\circ) > sin(959^\circ)$.

г) Сравним $sin(734^\circ)$ и $sin(-1066^\circ)$. Используем свойства периодичности и нечетности синуса ($sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$).

Приведем угол $734^\circ$ к основному промежутку: $734^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 14^\circ = 720^\circ + 14^\circ$. Значит, $sin(734^\circ) = sin(14^\circ)$.

Приведем угол $-1066^\circ$ к основному промежутку. Мы можем прибавлять или вычитать периоды в $360^\circ$. Прибавим $3 \cdot 360^\circ = 1080^\circ$ к $-1066^\circ$: $sin(-1066^\circ) = sin(-1066^\circ + 1080^\circ) = sin(14^\circ)$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что $sin(14^\circ) = sin(14^\circ)$.

Следовательно, $sin(734^\circ) = sin(-1066^\circ)$.

Ответ: $sin(734^\circ) = sin(-1066^\circ)$.