Номер 580, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

580. Определите знак произведения:

a) $\sin 157^\circ \sin 275^\circ \sin (-401^\circ) \sin 910^\circ \sin 328^\circ$;

б) $\cos 73^\circ \cos 140^\circ \cos 236^\circ \cos 301^\circ \cos (-384^\circ) \cos 1000^\circ$.

а) $ \sin 157^\circ \sin 275^\circ \sin (-401^\circ) \sin 910^\circ \sin 328^\circ $

Для определения знака произведения необходимо определить знак каждого множителя. Знак тригонометрической функции зависит от координатной четверти, в которой находится угол.

• $ \sin 157^\circ $: Угол $157^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 157^\circ < 180^\circ$). Синус во II четверти положителен, следовательно, $ \sin 157^\circ > 0 $ (знак «+»).

• $ \sin 275^\circ $: Угол $275^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 275^\circ < 360^\circ$). Синус в IV четверти отрицателен, следовательно, $ \sin 275^\circ < 0 $ (знак «–»).

• $ \sin (-401^\circ) $: Используя свойство нечетности синуса ($ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $) и периодичность ($ \sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha) $), получаем: $ \sin(-401^\circ) = -\sin(401^\circ) = -\sin(360^\circ + 41^\circ) = -\sin(41^\circ) $. Угол $41^\circ$ находится в I четверти, где синус положителен ($ \sin 41^\circ > 0 $). Таким образом, $ \sin(-401^\circ) < 0 $ (знак «–»).

• $ \sin 910^\circ $: Используя периодичность, $ 910^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 190^\circ $. $ \sin(910^\circ) = \sin(190^\circ) $. Угол $190^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 190^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Следовательно, $ \sin 910^\circ < 0 $ (знак «–»).

• $ \sin 328^\circ $: Угол $328^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 328^\circ < 360^\circ$). Синус в IV четверти отрицателен, следовательно, $ \sin 328^\circ < 0 $ (знак «–»).

Теперь определим знак всего произведения, перемножив знаки множителей: $ (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) $. В произведении четыре отрицательных множителя. Так как число отрицательных множителей четное (4), итоговый знак будет положительным.

Ответ: плюс (+).

б) $ \cos 73^\circ \cos 140^\circ \cos 236^\circ \cos 301^\circ \cos (-384^\circ) \cos 1000^\circ $

Определим знак каждого множителя в произведении.

• $ \cos 73^\circ $: Угол $73^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 73^\circ < 90^\circ$). Косинус в I четверти положителен, следовательно, $ \cos 73^\circ > 0 $ (знак «+»).

• $ \cos 140^\circ $: Угол $140^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 140^\circ < 180^\circ$). Косинус во II четверти отрицателен, следовательно, $ \cos 140^\circ < 0 $ (знак «–»).

• $ \cos 236^\circ $: Угол $236^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 236^\circ < 270^\circ$). Косинус в III четверти отрицателен, следовательно, $ \cos 236^\circ < 0 $ (знак «–»).

• $ \cos 301^\circ $: Угол $301^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 301^\circ < 360^\circ$). Косинус в IV четверти положителен, следовательно, $ \cos 301^\circ > 0 $ (знак «+»).

• $ \cos (-384^\circ) $: Используя свойство четности косинуса ($ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $) и периодичность, получаем: $ \cos(-384^\circ) = \cos(384^\circ) = \cos(360^\circ + 24^\circ) = \cos(24^\circ) $. Угол $24^\circ$ находится в I четверти, где косинус положителен. Следовательно, $ \cos(-384^\circ) > 0 $ (знак «+»).

• $ \cos 1000^\circ $: Используя периодичность, $ 1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ $. $ \cos(1000^\circ) = \cos(280^\circ) $. Угол $280^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 280^\circ < 360^\circ$), где косинус положителен. Следовательно, $ \cos 1000^\circ > 0 $ (знак «+»).

Определим знак всего произведения: $ (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) $. В произведении два отрицательных множителя. Так как число отрицательных множителей четное (2), итоговый знак будет положительным.

Ответ: плюс (+).