Страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

579. Вычислите:

a) $6\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 5\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right);$

б) $3\sin\left(-\frac{3\pi}{6}\right) - 4\cos\left(-\frac{11\pi}{2}\right) + 5\sin(7\pi) + \cos(-11\pi).$

а) $6\cos(-\frac{\pi}{6}) - 2\sin(-\frac{\pi}{6}) - 5\sin(-\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{7\pi}{6})$

Для решения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также формулами приведения.

1. Используем свойства четности косинуса ($\cos(-x) = \cos(x)$) и нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$):

$6\cos(\frac{\pi}{6}) - 2(-\sin(\frac{\pi}{6})) - 5(-\sin(\frac{5\pi}{6})) + \cos(\frac{7\pi}{6}) = 6\cos(\frac{\pi}{6}) + 2\sin(\frac{\pi}{6}) + 5\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{7\pi}{6})$

2. Применим формулы приведения для $\sin(\frac{5\pi}{6})$ и $\cos(\frac{7\pi}{6})$:

$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6})$

$\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6})$

3. Подставим полученные значения обратно в выражение:

$6\cos(\frac{\pi}{6}) + 2\sin(\frac{\pi}{6}) + 5\sin(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{6})$

4. Сгруппируем подобные слагаемые:

$(6\cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{6})) + (2\sin(\frac{\pi}{6}) + 5\sin(\frac{\pi}{6})) = 5\cos(\frac{\pi}{6}) + 7\sin(\frac{\pi}{6})$

5. Подставим табличные значения $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$:

$5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{7}{2} = \frac{7+5\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{7+5\sqrt{3}}{2}$

б) $3\sin(-\frac{3\pi}{6}) - 4\cos(-\frac{11\pi}{2}) + 5\sin(7\pi) + \cos(-11\pi)$

Упростим выражение, используя свойства тригонометрических функций и их периодичность.

1. Сначала упростим аргументы, где это возможно: $-\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.

Выражение принимает вид: $3\sin(-\frac{\pi}{2}) - 4\cos(-\frac{11\pi}{2}) + 5\sin(7\pi) + \cos(-11\pi)$.

2. Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

Первое слагаемое: $3\sin(-\frac{\pi}{2}) = 3 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{2})) = 3 \cdot (-1) = -3$.

Второе слагаемое: $-4\cos(-\frac{11\pi}{2}) = -4\cos(\frac{11\pi}{2})$. Так как период косинуса $2\pi$, представим $\frac{11\pi}{2}$ как $4\pi + \frac{3\pi}{2}$. Тогда $-4\cos(\frac{11\pi}{2}) = -4\cos(4\pi + \frac{3\pi}{2}) = -4\cos(\frac{3\pi}{2}) = -4 \cdot 0 = 0$.

Третье слагаемое: $5\sin(7\pi)$. Так как период синуса $2\pi$, представим $7\pi$ как $6\pi + \pi$. Тогда $5\sin(7\pi) = 5\sin(6\pi + \pi) = 5\sin(\pi) = 5 \cdot 0 = 0$.

Четвертое слагаемое: $\cos(-11\pi) = \cos(11\pi)$. Так как период косинуса $2\pi$, представим $11\pi$ как $10\pi + \pi$. Тогда $\cos(11\pi) = \cos(10\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.

3. Сложим полученные значения:

$-3 + 0 + 0 + (-1) = -3 - 1 = -4$

Ответ: -4

580. Определите знак произведения:

a) $\sin 157^\circ \sin 275^\circ \sin (-401^\circ) \sin 910^\circ \sin 328^\circ$;

б) $\cos 73^\circ \cos 140^\circ \cos 236^\circ \cos 301^\circ \cos (-384^\circ) \cos 1000^\circ$.

а) $ \sin 157^\circ \sin 275^\circ \sin (-401^\circ) \sin 910^\circ \sin 328^\circ $

Для определения знака произведения необходимо определить знак каждого множителя. Знак тригонометрической функции зависит от координатной четверти, в которой находится угол.

• $ \sin 157^\circ $: Угол $157^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 157^\circ < 180^\circ$). Синус во II четверти положителен, следовательно, $ \sin 157^\circ > 0 $ (знак «+»).

• $ \sin 275^\circ $: Угол $275^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 275^\circ < 360^\circ$). Синус в IV четверти отрицателен, следовательно, $ \sin 275^\circ < 0 $ (знак «–»).

• $ \sin (-401^\circ) $: Используя свойство нечетности синуса ($ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $) и периодичность ($ \sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha) $), получаем: $ \sin(-401^\circ) = -\sin(401^\circ) = -\sin(360^\circ + 41^\circ) = -\sin(41^\circ) $. Угол $41^\circ$ находится в I четверти, где синус положителен ($ \sin 41^\circ > 0 $). Таким образом, $ \sin(-401^\circ) < 0 $ (знак «–»).

• $ \sin 910^\circ $: Используя периодичность, $ 910^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 190^\circ $. $ \sin(910^\circ) = \sin(190^\circ) $. Угол $190^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 190^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Следовательно, $ \sin 910^\circ < 0 $ (знак «–»).

• $ \sin 328^\circ $: Угол $328^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 328^\circ < 360^\circ$). Синус в IV четверти отрицателен, следовательно, $ \sin 328^\circ < 0 $ (знак «–»).

Теперь определим знак всего произведения, перемножив знаки множителей: $ (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) $. В произведении четыре отрицательных множителя. Так как число отрицательных множителей четное (4), итоговый знак будет положительным.

Ответ: плюс (+).

б) $ \cos 73^\circ \cos 140^\circ \cos 236^\circ \cos 301^\circ \cos (-384^\circ) \cos 1000^\circ $

Определим знак каждого множителя в произведении.

• $ \cos 73^\circ $: Угол $73^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 73^\circ < 90^\circ$). Косинус в I четверти положителен, следовательно, $ \cos 73^\circ > 0 $ (знак «+»).

• $ \cos 140^\circ $: Угол $140^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 140^\circ < 180^\circ$). Косинус во II четверти отрицателен, следовательно, $ \cos 140^\circ < 0 $ (знак «–»).

• $ \cos 236^\circ $: Угол $236^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 236^\circ < 270^\circ$). Косинус в III четверти отрицателен, следовательно, $ \cos 236^\circ < 0 $ (знак «–»).

• $ \cos 301^\circ $: Угол $301^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 301^\circ < 360^\circ$). Косинус в IV четверти положителен, следовательно, $ \cos 301^\circ > 0 $ (знак «+»).

• $ \cos (-384^\circ) $: Используя свойство четности косинуса ($ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $) и периодичность, получаем: $ \cos(-384^\circ) = \cos(384^\circ) = \cos(360^\circ + 24^\circ) = \cos(24^\circ) $. Угол $24^\circ$ находится в I четверти, где косинус положителен. Следовательно, $ \cos(-384^\circ) > 0 $ (знак «+»).

• $ \cos 1000^\circ $: Используя периодичность, $ 1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ $. $ \cos(1000^\circ) = \cos(280^\circ) $. Угол $280^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 280^\circ < 360^\circ$), где косинус положителен. Следовательно, $ \cos 1000^\circ > 0 $ (знак «+»).

Определим знак всего произведения: $ (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) $. В произведении два отрицательных множителя. Так как число отрицательных множителей четное (2), итоговый знак будет положительным.

Ответ: плюс (+).

581. Найдите все углы $\alpha$ из интервала $(0; 2\pi)$, для каждого из которых справедливо равенство:

а) $|\sin \alpha| = \sin \alpha;$

б) $|\cos \alpha| = -\cos \alpha.$

а)

По определению модуля числа, равенство $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \ge 0$.

Применяя это свойство к данному уравнению, получаем, что равенство $|\sin\alpha| = \sin\alpha$ справедливо для всех углов $\alpha$, для которых выполняется условие $\sin\alpha \ge 0$.

На тригонометрической окружности синус угла (ордината точки) является неотрицательным в I и II координатных четвертях. Это соответствует углам $\alpha$ в промежутке $[0, \pi]$.

Нам необходимо найти все такие углы из интервала $(0, 2\pi)$. Для этого найдем пересечение множества решений $\alpha \in [0, \pi]$ с интервалом $(0, 2\pi)$.

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $(0, \pi]$. Точка $\alpha=0$ не входит в заданный интервал, а точка $\alpha=\pi$ входит.

Ответ: $\alpha \in (0, \pi]$.

б)

По определению модуля числа, равенство $|x| = -x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \le 0$.

Применяя это свойство к данному уравнению, получаем, что равенство $|\cos\alpha| = -\cos\alpha$ справедливо для всех углов $\alpha$, для которых выполняется условие $\cos\alpha \le 0$.

На тригонометрической окружности косинус угла (абсцисса точки) является неположительным во II и III координатных четвертях. Это соответствует углам $\alpha$ в промежутке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Нам необходимо найти все такие углы из интервала $(0, 2\pi)$. Весь отрезок $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ полностью содержится в интервале $(0, 2\pi)$, так как $0 < \frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < 2\pi$.

Ответ: $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

582. Расположите в порядке возрастания числа:

a) $ \sin (-55^\circ)$, $\sin 600^\circ$, $\sin 1295^\circ$;

б) $ \cos 653^\circ$, $\cos (-68^\circ)$, $\cos 295^\circ$.

а) Чтобы расположить числа $sin(-55^\circ)$, $sin(600^\circ)$, $sin(1295^\circ)$ в порядке возрастания, приведем аргументы тригонометрических функций к значениям в пределах одного оборота ($[0^\circ, 360^\circ)$), используя свойства периодичности и нечетности синуса.

1. Преобразуем каждое выражение:

• Для $sin(-55^\circ)$ используем свойство нечетности синуса ($sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$):
  $sin(-55^\circ) = -sin(55^\circ)$.
  Угол $55^\circ$ находится в I четверти, где синус положителен, значит $sin(55^\circ) > 0$, а $sin(-55^\circ)$ является отрицательным числом.

• Для $sin(600^\circ)$ используем периодичность синуса (период $360^\circ$):
  $sin(600^\circ) = sin(600^\circ - 360^\circ) = sin(240^\circ)$.
  Угол $240^\circ$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Используя формулу приведения, получим: $sin(240^\circ) = sin(180^\circ + 60^\circ) = -sin(60^\circ)$.

• Для $sin(1295^\circ)$ также используем периодичность. Найдем остаток от деления $1295$ на $360$:
  $1295 = 3 \cdot 360 + 215 = 1080 + 215$.
  Следовательно, $sin(1295^\circ) = sin(3 \cdot 360^\circ + 215^\circ) = sin(215^\circ)$.
  Угол $215^\circ$ находится в III четверти, где синус отрицателен. По формуле приведения: $sin(215^\circ) = sin(180^\circ + 35^\circ) = -sin(35^\circ)$.

2. Сравним полученные значения: $-sin(55^\circ)$, $-sin(60^\circ)$, $-sin(35^\circ)$.

Все три числа отрицательны. Чтобы их сравнить, сначала сравним положительные значения $sin(35^\circ)$, $sin(55^\circ)$ и $sin(60^\circ)$.
В первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция синуса возрастает. Поскольку $35^\circ < 55^\circ < 60^\circ$, то и $sin(35^\circ) < sin(55^\circ) < sin(60^\circ)$.
При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный:
$-sin(60^\circ) < -sin(55^\circ) < -sin(35^\circ)$.

3. Сопоставим с исходными числами:
$sin(600^\circ) < sin(-55^\circ) < sin(1295^\circ)$.

Ответ: $sin(600^\circ)$, $sin(-55^\circ)$, $sin(1295^\circ)$.

б) Чтобы расположить числа $cos(653^\circ)$, $cos(-68^\circ)$, $cos(295^\circ)$ в порядке возрастания, также приведем аргументы к удобному для сравнения виду, используя свойства четности и периодичности косинуса.

1. Преобразуем каждое выражение:

• Для $cos(653^\circ)$ используем периодичность косинуса (период $360^\circ$):
  $cos(653^\circ) = cos(653^\circ - 360^\circ) = cos(293^\circ)$.
  Угол $293^\circ$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Используя формулу приведения, получим: $cos(293^\circ) = cos(360^\circ - 67^\circ) = cos(67^\circ)$.

• Для $cos(-68^\circ)$ используем свойство четности косинуса ($cos(-\alpha) = cos(\alpha)$):
  $cos(-68^\circ) = cos(68^\circ)$.

• Для $cos(295^\circ)$ используем формулу приведения. Угол $295^\circ$ находится в IV четверти, где косинус положителен:
  $cos(295^\circ) = cos(360^\circ - 65^\circ) = cos(65^\circ)$.

2. Сравним полученные значения: $cos(67^\circ)$, $cos(68^\circ)$, $cos(65^\circ)$.

Все три угла ($65^\circ, 67^\circ, 68^\circ$) находятся в первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$), где функция косинуса убывает.
Поскольку $65^\circ < 67^\circ < 68^\circ$, то для значений косинуса будет верным обратное неравенство:
$cos(65^\circ) > cos(67^\circ) > cos(68^\circ)$.

3. Расположим значения в порядке возрастания и сопоставим с исходными числами:
$cos(68^\circ) < cos(67^\circ) < cos(65^\circ)$
Это соответствует порядку: $cos(-68^\circ) < cos(653^\circ) < cos(295^\circ)$.

Ответ: $cos(-68^\circ)$, $cos(653^\circ)$, $cos(295^\circ)$.

Сравните (583–585):

583. а) $ \sin 91^\circ $ и $ \sin 92^\circ $;

б) $ \sin 195^\circ $ и $ \sin 200^\circ $;

в) $ \sin 354^\circ $ и $ \sin 959^\circ $;

г) $ \sin 734^\circ $ и $ \sin (-1066^\circ) $.

а) Для сравнения $sin(91^\circ)$ и $sin(92^\circ)$ рассмотрим поведение функции синуса на единичной окружности. Углы $91^\circ$ и $92^\circ$ находятся во второй четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$). В этой четверти функция $y=sin(x)$ является убывающей. Это означает, что большему значению угла соответствует меньшее значение синуса. Так как $91^\circ < 92^\circ$, то $sin(91^\circ) > sin(92^\circ)$.

Ответ: $sin(91^\circ) > sin(92^\circ)$.

б) Углы $195^\circ$ и $200^\circ$ находятся в третьей четверти (от $180^\circ$ до $270^\circ$). В этой четверти функция $y=sin(x)$ также является убывающей. Значения синуса здесь отрицательны и изменяются от $0$ до $-1$. Поскольку $195^\circ < 200^\circ$, то, следуя свойству убывающей функции, $sin(195^\circ) > sin(200^\circ)$.

Ответ: $sin(195^\circ) > sin(200^\circ)$.

в) Для сравнения $sin(354^\circ)$ и $sin(959^\circ)$ сначала приведем углы к основному промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$, используя периодичность синуса ($sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = sin(\alpha)$, где $k$ - целое число).

Для $sin(354^\circ)$: угол уже находится в этом промежутке. Он расположен в четвертой четверти. Используем формулу приведения: $sin(354^\circ) = sin(360^\circ - 6^\circ) = -sin(6^\circ)$.

Для $sin(959^\circ)$: $959^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 239^\circ = 720^\circ + 239^\circ$. Следовательно, $sin(959^\circ) = sin(239^\circ)$. Угол $239^\circ$ находится в третьей четверти. Применяем формулу приведения: $sin(239^\circ) = sin(180^\circ + 59^\circ) = -sin(59^\circ)$.

Теперь нам нужно сравнить $-sin(6^\circ)$ и $-sin(59^\circ)$. В первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) синус возрастает, поэтому $sin(6^\circ) < sin(59^\circ)$. При умножении неравенства на $-1$ знак меняется на противоположный: $-sin(6^\circ) > -sin(59^\circ)$.

Таким образом, $sin(354^\circ) > sin(959^\circ)$.

Ответ: $sin(354^\circ) > sin(959^\circ)$.

г) Сравним $sin(734^\circ)$ и $sin(-1066^\circ)$. Используем свойства периодичности и нечетности синуса ($sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$).

Приведем угол $734^\circ$ к основному промежутку: $734^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 14^\circ = 720^\circ + 14^\circ$. Значит, $sin(734^\circ) = sin(14^\circ)$.

Приведем угол $-1066^\circ$ к основному промежутку. Мы можем прибавлять или вычитать периоды в $360^\circ$. Прибавим $3 \cdot 360^\circ = 1080^\circ$ к $-1066^\circ$: $sin(-1066^\circ) = sin(-1066^\circ + 1080^\circ) = sin(14^\circ)$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что $sin(14^\circ) = sin(14^\circ)$.

Следовательно, $sin(734^\circ) = sin(-1066^\circ)$.

Ответ: $sin(734^\circ) = sin(-1066^\circ)$.

584. a) $ \cos 101^\circ $ и $ \cos 157^\circ $;

б) $ \cos 190^\circ $ и $ \cos 200^\circ $;

в) $ \cos 1000^\circ $ и $ \cos 2000^\circ $;

г) $ \cos 860^\circ $ и $ \cos 510^\circ $.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства функции $y = \cos(x)$:

• Периодичность: $\cos(x) = \cos(x + 360^\circ \cdot k)$ для любого целого $k$. Это позволяет нам приводить большие углы к диапазону от $0^\circ$ до $360^\circ$.
• Знаки по четвертям:
  • I четверть ($0^\circ < x < 90^\circ$): $\cos(x) > 0$
  • II четверть ($90^\circ < x < 180^\circ$): $\cos(x) < 0$
  • III четверть ($180^\circ < x < 270^\circ$): $\cos(x) < 0$
  • IV четверть ($270^\circ < x < 360^\circ$): $\cos(x) > 0$
• Монотонность:
  • Функция $\cos(x)$ убывает на промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$. Это значит, что для любых двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\cos(x_1) > \cos(x_2)$.
  • Функция $\cos(x)$ возрастает на промежутке $[180^\circ, 360^\circ]$. Это значит, что для любых двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\cos(x_1) < \cos(x_2)$.

а) Сравним $\cos 101^\circ$ и $\cos 157^\circ$.
Оба угла, $101^\circ$ и $157^\circ$, находятся во второй четверти ($90^\circ < x < 180^\circ$), где косинус отрицателен. На промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$ функция косинуса убывает. Поскольку $101^\circ < 157^\circ$, то, согласно свойству убывающей функции, $\cos 101^\circ > \cos 157^\circ$.
Ответ: $\cos 101^\circ > \cos 157^\circ$.

б) Сравним $\cos 190^\circ$ и $\cos 200^\circ$.
Оба угла, $190^\circ$ и $200^\circ$, находятся в третьей четверти ($180^\circ < x < 270^\circ$), где косинус отрицателен. На промежутке $[180^\circ, 360^\circ]$ функция косинуса возрастает. Поскольку $190^\circ < 200^\circ$, то, согласно свойству возрастающей функции, $\cos 190^\circ < \cos 200^\circ$.
Ответ: $\cos 190^\circ < \cos 200^\circ$.

в) Сравним $\cos 1000^\circ$ и $\cos 2000^\circ$.
Сначала приведем углы к основному промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$, используя периодичность функции косинуса.
Для $1000^\circ$: $1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ = 720^\circ + 280^\circ$. Следовательно, $\cos 1000^\circ = \cos 280^\circ$.
Для $2000^\circ$: $2000^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 200^\circ = 1800^\circ + 200^\circ$. Следовательно, $\cos 2000^\circ = \cos 200^\circ$.
Теперь сравним $\cos 280^\circ$ и $\cos 200^\circ$.
Угол $280^\circ$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен: $\cos 280^\circ > 0$.
Угол $200^\circ$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен: $\cos 200^\circ < 0$.
Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\cos 280^\circ > \cos 200^\circ$, а значит, $\cos 1000^\circ > \cos 2000^\circ$.
Ответ: $\cos 1000^\circ > \cos 2000^\circ$.

г) Сравним $\cos 860^\circ$ и $\cos 510^\circ$.
Приведем углы к основному промежутку.
Для $860^\circ$: $860^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 140^\circ = 720^\circ + 140^\circ$. Следовательно, $\cos 860^\circ = \cos 140^\circ$.
Для $510^\circ$: $510^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 150^\circ = 360^\circ + 150^\circ$. Следовательно, $\cos 510^\circ = \cos 150^\circ$.
Теперь сравним $\cos 140^\circ$ и $\cos 150^\circ$.
Оба угла, $140^\circ$ и $150^\circ$, находятся во второй четверти, где косинус отрицателен. На промежутке $[0^\circ, 180^\circ]$ функция косинуса убывает. Поскольку $140^\circ < 150^\circ$, то $\cos 140^\circ > \cos 150^\circ$. Таким образом, $\cos 860^\circ > \cos 510^\circ$.
Ответ: $\cos 860^\circ > \cos 510^\circ$.

585. а) $ \cos 1.6\pi $ и $ \cos 1.68\pi $;

в) $ \cos 5.1\pi $ и $ \cos 5\pi $;

б) $ \sin 4.5 $ и 0;

г) $ \sin 1 $ и $ \cos 1 $.

а) Сравним значения $ \cos(1,6\pi) $ и $ \cos(1,68\pi) $.

Оба угла, $ 1,6\pi $ и $ 1,68\pi $, находятся в IV четверти, так как выполняется неравенство $ 1,5\pi < 1,6\pi < 1,68\pi < 2\pi $. На промежутке $ [1,5\pi, 2\pi] $ функция $ y = \cos(x) $ является возрастающей (её значения увеличиваются от 0 до 1).

Поскольку $ 1,6\pi < 1,68\pi $ и оба аргумента принадлежат интервалу возрастания функции косинус, то значение функции для большего аргумента будет больше.

Следовательно, $ \cos(1,6\pi) < \cos(1,68\pi) $.

Ответ: $ \cos(1,6\pi) < \cos(1,68\pi) $.

б) Сравним значения $ \sin(4,5) $ и $ 0 $.

Для определения знака $ \sin(4,5) $ необходимо определить, в какой четверти находится угол 4,5 радиан. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.

Находим границы четвертей: $ \pi \approx 3,14 $ и $ \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3,14}{2} = 4,71 $.

Так как $ \pi < 4,5 < \frac{3\pi}{2} $, угол 4,5 радиан расположен в III четверти. Синус для любого угла из III четверти является отрицательным.

Следовательно, $ \sin(4,5) < 0 $.

Ответ: $ \sin(4,5) < 0 $.

в) Сравним значения $ \cos(5,1\pi) $ и $ \cos(5\pi) $.

Воспользуемся свойством периодичности функции косинус, период которой равен $ 2\pi $. Мы можем отбрасывать целое число периодов от аргумента функции.

$ \cos(5,1\pi) = \cos(5,1\pi - 2 \cdot 2\pi) = \cos(5,1\pi - 4\pi) = \cos(1,1\pi) $.

$ \cos(5\pi) = \cos(5\pi - 2 \cdot 2\pi) = \cos(5\pi - 4\pi) = \cos(\pi) $.

Значение $ \cos(\pi) $ равно $ -1 $. Угол $ 1,1\pi $ находится в III четверти, так как $ \pi < 1,1\pi < 1,5\pi $. В III четверти косинус принимает значения в интервале от $ -1 $ до $ 0 $. Так как $ 1,1\pi $ не равно $ \pi $, то $ \cos(1,1\pi) > -1 $.

Таким образом, $ \cos(1,1\pi) > \cos(\pi) $, а значит $ \cos(5,1\pi) > \cos(5\pi) $.

Ответ: $ \cos(5,1\pi) > \cos(5\pi) $.

г) Сравним значения $ \sin(1) $ и $ \cos(1) $.

Определим положение угла в 1 радиан на единичной окружности. Используем приближение $ \pi \approx 3,14 $. Тогда $ \frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14}{4} = 0,785 $ и $ \frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57 $.

Поскольку $ \frac{\pi}{4} < 1 < \frac{\pi}{2} $, угол в 1 радиан находится в I четверти, и его величина больше $ \frac{\pi}{4} $.

В I четверти при $ x = \frac{\pi}{4} $ значения синуса и косинуса равны: $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) $. На интервале $ (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $ функция $ y = \sin(x) $ возрастает, а $ y = \cos(x) $ убывает, поэтому для любого угла $ x $ из этого интервала выполняется неравенство $ \sin(x) > \cos(x) $.

Так как $ 1 \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $, то $ \sin(1) > \cos(1) $.

Ответ: $ \sin(1) > \cos(1) $.

586. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

а) $sin(\pi - \alpha) = sin \alpha;$

б) $cos(\pi - \alpha) = -cos \alpha;$

в) $sin(3\pi - \alpha) = sin \alpha;$

г) $cos(5\pi - \alpha) = -cos \alpha.$

а) Для доказательства справедливости равенства воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$. В нашем случае $x = \pi$ и $y = \alpha$. Подставив эти значения в формулу, получим: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\pi \cos\alpha - \cos\pi \sin\alpha$. Известно, что $\sin\pi = 0$ и $\cos\pi = -1$. Следовательно, выражение принимает вид: $0 \cdot \cos\alpha - (-1) \cdot \sin\alpha = 0 + \sin\alpha = \sin\alpha$. Таким образом, равенство $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ доказано. Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. Применим её для $x = \pi$ и $y = \alpha$: $\cos(\pi - \alpha) = \cos\pi \cos\alpha + \sin\pi \sin\alpha$. Подставим известные значения $\cos\pi = -1$ и $\sin\pi = 0$: $(-1) \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = -\cos\alpha$. Таким образом, равенство $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ доказано. Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя периодичность функции синус. Период синуса равен $2\pi$, поэтому $\sin(z) = \sin(z + 2k\pi)$ для любого целого $k$. В нашем случае: $\sin(3\pi - \alpha) = \sin(2\pi + \pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha)$. Согласно доказанному в пункте а), $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$. Следовательно, $\sin(3\pi - \alpha) = \sin\alpha$. Равенство доказано. Ответ: Равенство доказано.

г) Для доказательства преобразуем левую часть, используя периодичность функции косинус, период которой также равен $2\pi$. $\cos(z) = \cos(z + 2k\pi)$ для любого целого $k$. В нашем случае: $\cos(5\pi - \alpha) = \cos(4\pi + \pi - \alpha) = \cos(2 \cdot 2\pi + (\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha)$. Согласно доказанному в пункте б), $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$. Следовательно, $\cos(5\pi - \alpha) = -\cos\alpha$. Равенство доказано. Ответ: Равенство доказано.

587. Упростите выражение:

а) $\sin(-\alpha + \pi)$;

б) $\cos(\alpha - \pi)$;

в) $\sin(\alpha + 7\pi)$;

г) $\cos(\alpha - 9\pi)$.

а) Для упрощения выражения $ \sin(-\alpha + \pi) $ воспользуемся свойствами тригонометрических функций.
Сначала перепишем выражение в более удобном виде, поменяв слагаемые местами: $ \sin(-\alpha + \pi) = \sin(\pi - \alpha) $.
Теперь применим формулу приведения. Формулы приведения позволяют сводить тригонометрические функции от углов вида $ \frac{k\pi}{2} \pm \alpha $ к функциям от угла $ \alpha $. Для угла $ \pi - \alpha $, название функции (синус) не меняется. Чтобы определить знак, представим, что $ \alpha $ — острый угол. Тогда угол $ \pi - \alpha $ находится во второй координатной четверти, где синус положителен.
Таким образом, $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

б) Для упрощения выражения $ \cos(\alpha - \pi) $ воспользуемся четностью функции косинус.
Функция косинус является четной, то есть для любого угла $ x $ выполняется равенство $ \cos(-x) = \cos(x) $. Вынесем знак минус из аргумента:
$ \cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha) $.
Теперь, как и в предыдущем пункте, применим формулу приведения. Для угла $ \pi - \alpha $ название функции (косинус) не меняется. Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

в) Для упрощения выражения $ \sin(\alpha + 7\pi) $ воспользуемся периодичностью функции синус.
Период функции синус равен $ 2\pi $. Это означает, что $ \sin(x + 2k\pi) = \sin(x) $ для любого целого числа $ k $.
Представим $ 7\pi $ как сумму $ \pi + 6\pi $. Число $ 6\pi $ является кратным периоду $ 2\pi $ ($ 6\pi = 3 \cdot 2\pi $).
$ \sin(\alpha + 7\pi) = \sin(\alpha + \pi + 6\pi) $.
Используя свойство периодичности, мы можем отбросить $ 6\pi $:
$ \sin(\alpha + \pi + 6\pi) = \sin(\alpha + \pi) $.
Применим формулу приведения для угла $ \alpha + \pi $. Угол находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Название функции не меняется.
Таким образом, $ \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) $.
Ответ: $ -\sin(\alpha) $

г) Для упрощения выражения $ \cos(\alpha - 9\pi) $ воспользуемся периодичностью и четностью функции косинус.
Период функции косинус равен $ 2\pi $. Мы можем прибавлять или вычитать любое число, кратное $ 2\pi $, из аргумента функции, не изменяя ее значения. Прибавим к аргументу $ 10\pi $ ($ 10\pi = 5 \cdot 2\pi $):
$ \cos(\alpha - 9\pi) = \cos(\alpha - 9\pi + 10\pi) = \cos(\alpha + \pi) $.
Теперь применим формулу приведения. Угол $ \alpha + \pi $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Название функции не меняется.
Следовательно, $ \cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha) $.
Альтернативный способ:
Используя четность косинуса: $ \cos(\alpha - 9\pi) = \cos(9\pi - \alpha) $.
Используя периодичность: $ \cos(9\pi - \alpha) = \cos(8\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) $.
По формуле приведения: $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

588. Вычислите:

а) $\sin \left(\frac{\pi}{4}+3\pi\right)$;

б) $\cos \left(\frac{\pi}{3}-8\pi\right)$;

в) $\sin \left(9\frac{5}{6}\pi\right)$.

а) $sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi)$

Для вычисления значения выражения воспользуемся свойством периодичности функции синус. Период синуса равен $2\pi$, что означает $sin(x + 2\pi k) = sin(x)$ для любого целого $k$.
Аргумент синуса можно переписать, выделив слагаемое, кратное $2\pi$:
$\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi$.
Используя свойство периодичности, отбрасываем $2\pi$:
$sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi) = sin(\frac{\pi}{4} + \pi)$.
Далее применяем формулу приведения $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$:
$sin(\frac{\pi}{4} + \pi) = -sin(\frac{\pi}{4})$.
Табличное значение $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, получаем:
$sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) $cos(\frac{\pi}{3} - 8\pi)$

Для вычисления значения выражения воспользуемся свойством периодичности функции косинус. Период косинуса равен $2\pi$, что означает $cos(x + 2\pi k) = cos(x)$ для любого целого $k$.
В данном случае слагаемое $-8\pi$ является целым кратным периода $2\pi$, так как $-8\pi = 2\pi \cdot (-4)$.
Поэтому мы можем отбросить это слагаемое из аргумента косинуса:
$cos(\frac{\pi}{3} - 8\pi) = cos(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $sin(9\frac{5}{6}\pi)$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь, чтобы упростить аргумент функции:
$9\frac{5}{6}\pi = (\frac{9 \cdot 6 + 5}{6})\pi = \frac{59}{6}\pi$.
Теперь воспользуемся свойством периодичности синуса. Для этого выделим в аргументе слагаемое, кратное полному обороту $2\pi$.
$\frac{59}{6}\pi = \frac{60\pi - \pi}{6} = \frac{60\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 10\pi - \frac{\pi}{6}$.
Выражение принимает вид: $sin(10\pi - \frac{\pi}{6})$.
Так как $10\pi = 5 \cdot 2\pi$, это слагаемое можно отбросить в силу периодичности синуса:
$sin(10\pi - \frac{\pi}{6}) = sin(-\frac{\pi}{6})$.
Функция синус является нечетной, то есть $sin(-x) = -sin(x)$. Следовательно:
$sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6})$.
Табличное значение $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
В итоге получаем:
$sin(9\frac{5}{6}\pi) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

589. Упростите выражение:

а) $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(\pi - \alpha)}{\sin(\alpha - \pi)\cos(\alpha + \pi)}$;

б) $\frac{\cos(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)}{\sin(\alpha - \pi)\sin(\pi + \alpha)}$;

в) $\sin(\alpha - \pi)\sin(\alpha + \pi) - \cos(\pi + \alpha)\cos(\alpha - \pi)$;

г) $\sin(2\pi + \alpha)\sin(3\pi - \alpha) - \cos(3\pi + \alpha)\cos(\alpha - 2\pi)$, где угол $\alpha$ такой, что знаменатель дроби не обращается в нуль.

а) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(\pi - \alpha)}{\sin(\alpha - \pi)\cos(\alpha + \pi)}$.

Для упрощения воспользуемся формулами приведения:

В числителе:

• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (угол в III четверти, синус отрицательный).
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$ (угол во II четверти, косинус отрицательный).

В знаменателе:

• $\sin(\alpha - \pi) = \sin(-(\pi - \alpha)) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$ (так как синус — нечетная функция, а $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$).
• $\cos(\alpha + \pi) = \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$ (угол в III четверти, косинус отрицательный).

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{(-\sin(\alpha))(-\cos(\alpha))}{(-\sin(\alpha))(-\cos(\alpha))} = \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = 1$.

Ответ: $1$

б) Упростим выражение $\frac{\cos(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)}{\sin(\alpha - \pi)\sin(\pi + \alpha)}$.

Используем формулы приведения:

• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$
• $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$
• $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\alpha)$
• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$

Подставляем в выражение:

$\frac{(-\cos(\alpha))(-\cos(\alpha))}{(-\sin(\alpha))(-\sin(\alpha))} = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \text{ctg}^2(\alpha)$.

Ответ: $\text{ctg}^2(\alpha)$

в) Упростим выражение $\sin(\alpha - \pi)\sin(\alpha + \pi) - \cos(\pi + \alpha)\cos(\alpha - \pi)$.

Сначала упростим каждый тригонометрический член:

• $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
• $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$.
• $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$.
• $\cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$ (так как косинус — четная функция).

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(-\sin(\alpha))(-\sin(\alpha)) - (-\cos(\alpha))(-\cos(\alpha)) = \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)$.

Мы знаем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

Следовательно, $\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = -(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)) = -\cos(2\alpha)$.

Альтернативное решение:

Преобразуем выражение: $-[\cos(\pi + \alpha)\cos(\alpha - \pi) - \sin(\alpha - \pi)\sin(\alpha + \pi)]$.

Используя четность косинуса, $\cos(\alpha - \pi) = \cos(\pi - \alpha)$, и нечетность синуса, $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha)$, получим:

$-[\cos(\pi + \alpha)\cos(\pi - \alpha) + \sin(\pi + \alpha)\sin(\pi - \alpha)]$.

Выражение в скобках является формулой косинуса разности $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$, где $A = \pi + \alpha$ и $B = \pi - \alpha$.

Тогда выражение равно $-[\cos((\pi + \alpha) - (\pi - \alpha))] = -[\cos(\pi + \alpha - \pi + \alpha)] = -\cos(2\alpha)$.

Ответ: $-\cos(2\alpha)$

г) Упростим выражение $\sin(2\pi + \alpha)\sin(3\pi - \alpha) - \cos(3\pi + \alpha)\cos(\alpha - 2\pi)$.

Упростим каждый член, используя периодичность тригонометрических функций и формулы приведения:

• $\sin(2\pi + \alpha) = \sin(\alpha)$ (период синуса $2\pi$).
• $\sin(3\pi - \alpha) = \sin(2\pi + \pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$ (угол во II четверти).
• $\cos(3\pi + \alpha) = \cos(2\pi + \pi + \alpha) = \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$ (угол в III четверти).
• $\cos(\alpha - 2\pi) = \cos(\alpha)$ (период косинуса $2\pi$).

Подставляем упрощенные выражения обратно:

$(\sin(\alpha))(\sin(\alpha)) - (-\cos(\alpha))(\cos(\alpha)) = \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем результат.

Ответ: $1$

590. Для любого ли угла $\alpha$ справедливо равенство:

а) $cos \alpha = cos |\alpha|$;

б) $sin \alpha = sin |\alpha|$?

а) Рассмотрим равенство $\cos \alpha = \cos |\alpha|$.

Функция косинус является четной. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ выполняется свойство $\cos(-x) = \cos x$.

Проанализируем равенство для двух возможных случаев:

1. Если угол $\alpha$ неотрицателен, то есть $\alpha \ge 0$, тогда $|\alpha| = \alpha$. В этом случае равенство принимает вид $\cos \alpha = \cos \alpha$, что является тождеством и всегда верно.

2. Если угол $\alpha$ отрицателен, то есть $\alpha < 0$, тогда $|\alpha| = -\alpha$. Равенство принимает вид $\cos \alpha = \cos(-\alpha)$. Поскольку функция косинус четная, $\cos(-\alpha)$ равно $\cos \alpha$. Таким образом, мы снова получаем тождество $\cos \alpha = \cos \alpha$, которое также всегда верно.

Так как равенство выполняется как для неотрицательных, так и для отрицательных значений $\alpha$, оно справедливо для любого угла $\alpha$.

Ответ: да, справедливо.

б) Рассмотрим равенство $\sin \alpha = \sin |\alpha|$.

Функция синус является нечетной. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ выполняется свойство $\sin(-x) = -\sin x$.

Проанализируем равенство для двух возможных случаев:

1. Если угол $\alpha$ неотрицателен, то есть $\alpha \ge 0$, тогда $|\alpha| = \alpha$. В этом случае равенство принимает вид $\sin \alpha = \sin \alpha$, что является тождеством и всегда верно.

2. Если угол $\alpha$ отрицателен, то есть $\alpha < 0$, тогда $|\alpha| = -\alpha$. Равенство принимает вид $\sin \alpha = \sin(-\alpha)$. Поскольку функция синус нечетная, $\sin(-\alpha)$ равно $-\sin \alpha$. Равенство преобразуется к виду $\sin \alpha = -\sin \alpha$. Это равенство верно только тогда, когда $\sin \alpha = 0$, то есть при $\alpha = \pi n$, где $n$ – любое целое число. Для других отрицательных углов (например, для тех, что лежат в III и IV четвертях единичной окружности) это равенство не выполняется.

Чтобы доказать, что равенство не является верным для любого угла, достаточно привести один контрпример. Пусть $\alpha = -90^\circ$ (или $-\frac{\pi}{2}$ радиан).
Вычислим левую часть равенства: $\sin \alpha = \sin(-90^\circ) = -1$.
Вычислим правую часть равенства: $\sin |\alpha| = \sin |-90^\circ| = \sin(90^\circ) = 1$.
Так как $-1 \neq 1$, равенство $\sin \alpha = \sin |\alpha|$ не выполняется для данного угла.

Следовательно, равенство не является справедливым для любого угла $\alpha$.

Ответ: нет, не справедливо.