Страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

564. Доказываем.

Докажите, что если точка $A_\alpha$ единичной окружности соответствует некоторому рациональному числу, то она не соответствует никакому другому рациональному числу.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что утверждение неверно. То есть, существует точка $A$ на единичной окружности, которая соответствует двум различным рациональным числам. Обозначим эти числа как $\alpha$ и $\beta$.

Итак, пусть $\alpha \in \mathbb{Q}$ (множество рациональных чисел), $\beta \in \mathbb{Q}$ и $\alpha \neq \beta$.

По определению, два числа соответствуют одной и той же точке на единичной окружности тогда и только тогда, когда их разность является целым кратным длины окружности, то есть $2\pi$. Следовательно, для некоторого целого числа $k$ ($k \in \mathbb{Z}$) должно выполняться равенство:

$\beta - \alpha = 2\pi k$

Поскольку мы предположили, что $\alpha$ и $\beta$ — различные числа, их разность $\beta - \alpha$ не равна нулю. Это означает, что и целое число $k$ также не может быть равно нулю ($k \neq 0$).

Рассмотрим левую часть равенства. Так как $\alpha$ и $\beta$ — рациональные числа, их разность также является рациональным числом. Если $\alpha = \frac{p}{q}$ и $\beta = \frac{r}{s}$ (где $p, q, r, s$ — целые, $q \neq 0, s \neq 0$), то их разность:

$\beta - \alpha = \frac{r}{s} - \frac{p}{q} = \frac{rq - ps}{sq}$

Эта разность является рациональным числом, так как представляет собой дробь, где числитель и знаменатель — целые числа, и знаменатель не равен нулю.

Теперь вернемся к нашему уравнению $\beta - \alpha = 2\pi k$ и выразим из него число $\pi$:

$\pi = \frac{\beta - \alpha}{2k}$

В правой части этого равенства мы имеем частное от деления рационального числа $(\beta - \alpha)$ на ненулевое целое число $2k$. Результат такого деления всегда является рациональным числом.

Следовательно, из нашего предположения вытекает, что число $\pi$ должно быть рациональным.

Однако, это противоречит общеизвестному математическому факту о том, что число $\pi$ является иррациональным.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Таким образом, точка на единичной окружности, соответствующая некоторому рациональному числу, не может соответствовать никакому другому рациональному числу.

Ответ: Что и требовалось доказать.