Страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

542. a) Что в тригонометрии называют единичной окружностью?

б) Какую точку единичной окружности называют точкой, соответствующей углу $\alpha$?

в) Что называют синусом угла $\alpha$? косинусом угла $\alpha$?

г) Для какого угла $\alpha$ существует $\sin \alpha$? $\cos \alpha$?

д) Для данного угла $\alpha$ единственен или нет $\sin \alpha$? $\cos \alpha$?

а) В тригонометрии единичной окружностью называют окружность, расположенную в декартовой системе координат, центр которой находится в начале координат (точка (0, 0)), а радиус равен единице. Уравнение такой окружности имеет вид $x^2 + y^2 = 1$. Единичная окружность является фундаментальным инструментом для определения тригонометрических функций для любых углов.

Ответ: Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.

б) Точкой единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, называют точку, которая получается при повороте начальной точки $P_0(1, 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$. Положительным направлением поворота (для положительных значений $\alpha$) считается направление против часовой стрелки, а отрицательным — по часовой стрелке.

Ответ: Это точка, в которую перейдет начальная точка $P_0(1, 0)$ при ее повороте вокруг центра окружности на угол $\alpha$.

в) Пусть точка $M(x, y)$ — это точка на единичной окружности, соответствующая углу $\alpha$.
Синусом угла $\alpha$ (обозначается $\sin \alpha$) называют ординату (координату $y$) этой точки. То есть, $\sin \alpha = y$.
Косинусом угла $\alpha$ (обозначается $\cos \alpha$) называют абсциссу (координату $x$) этой точки. То есть, $\cos \alpha = x$.
Таким образом, любая точка на единичной окружности, соответствующая углу $\alpha$, имеет координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

Ответ: Синус угла $\alpha$ — это ордината точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$. Косинус угла $\alpha$ — это абсцисса той же точки.

г) Функции синус и косинус определены для любого угла $\alpha$. Это связано с тем, что для любого действительного числа $\alpha$, которое выражает меру угла (в градусах или радианах), можно выполнить поворот начальной точки $P_0(1, 0)$ и однозначно определить положение конечной точки на единичной окружности, а следовательно, и ее координаты (косинус и синус).

Ответ: $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ существуют для любого угла $\alpha$, то есть для $\alpha \in (-\infty, +\infty)$.

д) Да, для данного угла $\alpha$ значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ единственны. Каждому конкретному углу поворота $\alpha$ соответствует единственная точка на единичной окружности. Поскольку эта точка имеет единственную пару координат $(x, y)$, а синус и косинус по определению равны этим координатам ($y$ и $x$ соответственно), то их значения для данного угла $\alpha$ также являются единственными. Это соответствует определению функции, где каждому значению аргумента (углу $\alpha$) соответствует единственное значение функции ($\sin \alpha$ или $\cos \alpha$).

Ответ: Да, для данного угла $\alpha$ значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ единственны.

543. а) Постройте единичную окружность.

б) Какой вектор принимается за начальное положение подвижного вектора?

в) Какое направление поворота принято за положительное?

а) Постройте единичную окружность.

Единичная окружность — это окружность, центр которой находится в начале прямоугольной декартовой системы координат (в точке $O(0, 0)$), а радиус равен единице.

Для построения единичной окружности необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить систему координат $xOy$ с началом в точке $O$.
2. Выбрать единичный отрезок (масштаб).
3. На осях координат отметить точки, соответствующие единице: $(1, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(0, -1)$.
4. С помощью циркуля, установив его острие в начало координат $O(0, 0)$ и выбрав радиус, равный единичному отрезку, провести окружность.

Эта окружность будет проходить через отмеченные точки $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$. Все точки $(x, y)$, лежащие на этой окружности, удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = 1$.

Ответ: Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Ее уравнение: $x^2 + y^2 = 1$.

б) Какой вектор принимается за начальное положение подвижного вектора?

При рассмотрении вращения на единичной окружности за начальное положение подвижного радиус-вектора принимается вектор, который совпадает с положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$).

Этот вектор, называемый также начальным радиусом, имеет начало в центре окружности (точка $O(0, 0)$) и конец в точке $(1, 0)$. В координатной форме этот вектор записывается как $\vec{r_0} = \langle 1, 0 \rangle$. Это положение соответствует углу поворота, равному нулю (0 радиан или 0 градусов).

Ответ: За начальное положение принимается радиус-вектор с началом в точке $(0, 0)$ и концом в точке $(1, 0)$, который лежит на положительной полуоси абсцисс.

в) Какое направление поворота принято за положительное?

В тригонометрии и математическом анализе по общепринятому соглашению положительным направлением поворота считается движение против часовой стрелки.

Если смотреть на единичную окружность в стандартной системе координат, то поворот от положительной части оси $Ox$ к положительной части оси $Oy$ является положительным. Соответственно, движение по часовой стрелке считается отрицательным направлением поворота.

Ответ: Положительным направлением поворота принято считать направление против часовой стрелки.

544. Для каких углов $\alpha$:

а) $\sin \alpha = 0$;

б) $\cos \alpha = 0$?

а)

Чтобы найти углы $ \alpha $, для которых $ \sin \alpha = 0 $, воспользуемся определением синуса через единичную окружность. Синус угла $ \alpha $ — это ордината (координата $ y $) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

Уравнение $ \sin \alpha = 0 $ означает, что мы ищем точки на единичной окружности, у которых ордината равна нулю. Таких точек две: $ (1, 0) $ и $ (-1, 0) $.

Точка $ (1, 0) $ соответствует углам $ 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \dots $, то есть углам вида $ 2\pi k $, где $ k $ — целое число.

Точка $ (-1, 0) $ соответствует углам $ \pm\pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots $, то есть углам вида $ \pi + 2\pi k $, где $ k $ — целое число.

Объединив эти два множества решений, мы получим все углы, которые отстоят от $ 0 $ на целое число полуоборотов ($ \pi $). Таким образом, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $ \alpha = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б)

Чтобы найти углы $ \alpha $, для которых $ \cos \alpha = 0 $, воспользуемся определением косинуса через единичную окружность. Косинус угла $ \alpha $ — это абсцисса (координата $ x $) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

Уравнение $ \cos \alpha = 0 $ означает, что мы ищем точки на единичной окружности, у которых абсцисса равна нулю. Таких точек две: $ (0, 1) $ и $ (0, -1) $.

Точка $ (0, 1) $ соответствует углам $ \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \pm 2\pi, \dots $, то есть углам вида $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ — целое число.

Точка $ (0, -1) $ соответствует углам $ \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \pm 2\pi, \dots $ (что то же самое, что и $ -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} \pm 2\pi, \dots $), то есть углам вида $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $ или $ \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ — целое число.

Эти два множества решений можно объединить. Угол $ \frac{\pi}{2} $ и $ -\frac{\pi}{2} $ (или $ \frac{3\pi}{2} $) отличаются на $ \pi $. Это означает, что решения повторяются через каждый полуоборот ($ \pi $ радиан), начиная с $ \frac{\pi}{2} $. Таким образом, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

545. Найдите:

а) $sin 0^\circ$;

б) $cos 0$;

в) $sin 90^\circ$;

г) $cos \frac{\pi}{2}$;

д) $sin 180^\circ$;

е) $cos \pi$;

ж) $sin 270^\circ$;

з) $cos 270^\circ$;

и) $sin 2\pi$;

к) $cos 360^\circ$;

л) $cos 0^\circ$;

м) $sin \frac{\pi}{2}$.

а) Значения тригонометрических функций для углов, кратных $90°$ или $\frac{\pi}{2}$, удобно определять с помощью единичной окружности. Углу в $0°$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(1, 0)$. Синус угла — это ордината (координата y) этой точки. Таким образом, $sin 0° = 0$.
Ответ: 0

б) Углу в $0°$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(1, 0)$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) этой точки. Таким образом, $cos 0° = 1$.
Ответ: 1

в) Углу в $90°$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, 1)$. Синус угла — это ордината (координата y) этой точки. Таким образом, $sin 90° = 1$.
Ответ: 1

г) Угол в $\frac{\pi}{2}$ радиан соответствует углу в $90°$. Этому углу на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, 1)$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) этой точки. Таким образом, $cos \frac{\pi}{2} = 0$.
Ответ: 0

д) Углу в $180°$ (или $\pi$ радиан) на единичной окружности соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Синус угла — это ордината (координата y) этой точки. Таким образом, $sin 180° = 0$.
Ответ: 0

е) Угол в $\pi$ радиан соответствует углу в $180°$. Этому углу на единичной окружности соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) этой точки. Таким образом, $cos \pi = -1$.
Ответ: -1

ж) Углу в $270°$ (или $\frac{3\pi}{2}$ радиан) на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Синус угла — это ордината (координата y) этой точки. Таким образом, $sin 270° = -1$.
Ответ: -1

з) Углу в $270°$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) этой точки. Таким образом, $cos 270° = 0$.
Ответ: 0

и) Угол в $2\pi$ радиан соответствует углу в $360°$, который является полным оборотом и совпадает с углом $0°$. Этому углу на единичной окружности соответствует точка с координатами $(1, 0)$. Синус угла — это ордината (координата y) этой точки. Таким образом, $sin 2\pi = 0$.
Ответ: 0

к) Угол в $360°$ соответствует полному обороту и совпадает с углом $0°$. Этому углу на единичной окружности соответствует точка с координатами $(1, 0)$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) этой точки. Таким образом, $cos 360° = 1$.
Ответ: 1

л) Углу в $0°$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(1, 0)$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) этой точки. Таким образом, $cos 0° = 1$.
Ответ: 1

м) Угол в $\frac{\pi}{2}$ радиан соответствует углу в $90°$. Этому углу на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, 1)$. Синус угла — это ордината (координата y) этой точки. Таким образом, $sin \frac{\pi}{2} = 1$.
Ответ: 1

546. Используя свойства прямоугольных треугольников, найдите:

a) $\sin 45^\circ$;

б) $\cos \frac{\pi}{4}$;

в) $\sin \frac{\pi}{4}$;

г) $\cos 30^\circ$;

д) $\sin 60^\circ$;

е) $\cos \frac{\pi}{3}$.

Для нахождения значения $ \sin 45^\circ $ рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. В таком треугольнике углы при основании равны, и так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а один угол прямой ($90^\circ$), то два других острых угла равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
Пусть катеты этого треугольника равны $a$. По теореме Пифагора, гипотенуза $c$ будет равна $c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла в $45^\circ$ противолежащий катет равен $a$.
Следовательно, $ \sin 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

Угол $\frac{\pi}{4}$ в радианах соответствует углу $45^\circ$ в градусах. Для нахождения значения $ \cos \frac{\pi}{4} $ используем тот же равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной $a$ и гипотенузой $a\sqrt{2}$.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла в $45^\circ$ прилежащий катет также равен $a$.
Следовательно, $ \cos \frac{\pi}{4} = \cos 45^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем: $ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

Как и в предыдущем пункте, угол $\frac{\pi}{4}$ радиан равен $45^\circ$. Для нахождения $ \sin \frac{\pi}{4} $ вновь обратимся к равнобедренному прямоугольному треугольнику.
Его катеты равны $a$, а гипотенуза $a\sqrt{2}$. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$ \sin \frac{\pi}{4} = \sin 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

Для нахождения значений тригонометрических функций углов $30^\circ$ и $60^\circ$ рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $2a$. Все углы в таком треугольнике равны $60^\circ$.
Проведем в нем высоту, которая также будет являться медианой и биссектрисой. Она разделит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из полученных прямоугольных треугольников. Его углы равны $30^\circ$ (так как высота является биссектрисой угла $60^\circ$), $60^\circ$ и $90^\circ$.
Гипотенуза этого треугольника равна $2a$ (сторона исходного треугольника).
Катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине основания, то есть $a$.
Второй катет (высоту) найдем по теореме Пифагора: $h = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. Этот катет является прилежащим к углу $30^\circ$.
Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Следовательно, $ \cos 30^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

Используем тот же прямоугольный треугольник с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, который мы получили из равностороннего треугольника.
Стороны этого прямоугольного треугольника: гипотенуза $2a$, катет, прилежащий к углу $60^\circ$, равен $a$, и катет, противолежащий углу $60^\circ$, равен $a\sqrt{3}$.
Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $60^\circ$ противолежащим катетом является сторона длиной $a\sqrt{3}$.
Следовательно, $ \sin 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

Угол $\frac{\pi}{3}$ в радианах равен $60^\circ$ в градусах. Для нахождения $ \cos \frac{\pi}{3} $ снова используем прямоугольный треугольник с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.
Гипотенуза этого треугольника равна $2a$. Катет, прилежащий к углу $60^\circ$, имеет длину $a$.
Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Следовательно, $ \cos \frac{\pi}{3} = \cos 60^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $