Номер 542, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

542. a) Что в тригонометрии называют единичной окружностью?

б) Какую точку единичной окружности называют точкой, соответствующей углу $\alpha$?

в) Что называют синусом угла $\alpha$? косинусом угла $\alpha$?

г) Для какого угла $\alpha$ существует $\sin \alpha$? $\cos \alpha$?

д) Для данного угла $\alpha$ единственен или нет $\sin \alpha$? $\cos \alpha$?

а) В тригонометрии единичной окружностью называют окружность, расположенную в декартовой системе координат, центр которой находится в начале координат (точка (0, 0)), а радиус равен единице. Уравнение такой окружности имеет вид $x^2 + y^2 = 1$. Единичная окружность является фундаментальным инструментом для определения тригонометрических функций для любых углов.

Ответ: Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.

б) Точкой единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, называют точку, которая получается при повороте начальной точки $P_0(1, 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$. Положительным направлением поворота (для положительных значений $\alpha$) считается направление против часовой стрелки, а отрицательным — по часовой стрелке.

Ответ: Это точка, в которую перейдет начальная точка $P_0(1, 0)$ при ее повороте вокруг центра окружности на угол $\alpha$.

в) Пусть точка $M(x, y)$ — это точка на единичной окружности, соответствующая углу $\alpha$.
Синусом угла $\alpha$ (обозначается $\sin \alpha$) называют ординату (координату $y$) этой точки. То есть, $\sin \alpha = y$.
Косинусом угла $\alpha$ (обозначается $\cos \alpha$) называют абсциссу (координату $x$) этой точки. То есть, $\cos \alpha = x$.
Таким образом, любая точка на единичной окружности, соответствующая углу $\alpha$, имеет координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

Ответ: Синус угла $\alpha$ — это ордината точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$. Косинус угла $\alpha$ — это абсцисса той же точки.

г) Функции синус и косинус определены для любого угла $\alpha$. Это связано с тем, что для любого действительного числа $\alpha$, которое выражает меру угла (в градусах или радианах), можно выполнить поворот начальной точки $P_0(1, 0)$ и однозначно определить положение конечной точки на единичной окружности, а следовательно, и ее координаты (косинус и синус).

Ответ: $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ существуют для любого угла $\alpha$, то есть для $\alpha \in (-\infty, +\infty)$.

д) Да, для данного угла $\alpha$ значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ единственны. Каждому конкретному углу поворота $\alpha$ соответствует единственная точка на единичной окружности. Поскольку эта точка имеет единственную пару координат $(x, y)$, а синус и косинус по определению равны этим координатам ($y$ и $x$ соответственно), то их значения для данного угла $\alpha$ также являются единственными. Это соответствует определению функции, где каждому значению аргумента (углу $\alpha$) соответствует единственное значение функции ($\sin \alpha$ или $\cos \alpha$).

Ответ: Да, для данного угла $\alpha$ значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ единственны.