Номер 539, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

539. Запишите в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$, где $n$ — некоторое целое число $(0 \le \alpha < 2\pi)$, следующие числа:

а) $6,5\pi$;

б) $\frac{9}{2}\pi$;

в) $-12\frac{1}{3}\pi$;

г) $-17\frac{1}{6}\pi$.

а) Чтобы представить число $6,5\pi$ в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$, где $0 \le \alpha < 2\pi$, нужно выделить из него целое число полных оборотов (слагаемое, кратное $2\pi$).
$6,5\pi = 6\pi + 0,5\pi$.
Слагаемое $6\pi$ можно представить в виде $2\pi \cdot n$: $6\pi = 2\pi \cdot 3$.
Таким образом, $6,5\pi = 0,5\pi + 2\pi \cdot 3$.
Здесь $\alpha = 0,5\pi = \frac{\pi}{2}$ и $n = 3$. Условие $0 \le \frac{\pi}{2} < 2\pi$ выполняется.
Запись в требуемом виде: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 3$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 3$.

б) Представим число $\frac{9}{2}\pi$ в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$.
Сначала преобразуем дробь: $\frac{9}{2}\pi = 4,5\pi$.
Выделим целое число полных оборотов: $4,5\pi = 4\pi + 0,5\pi$.
Слагаемое $4\pi$ можно представить в виде $2\pi \cdot n$: $4\pi = 2\pi \cdot 2$.
Таким образом, $\frac{9}{2}\pi = 0,5\pi + 2\pi \cdot 2$.
Здесь $\alpha = 0,5\pi = \frac{\pi}{2}$ и $n = 2$. Условие $0 \le \frac{\pi}{2} < 2\pi$ выполняется.
Запись в требуемом виде: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2$.

в) Представим число $-12\frac{1}{3}\pi$ в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$.
Для отрицательных чисел нужно прибавить такое количество полных оборотов $2\pi$, чтобы получить положительный угол $\alpha$ в диапазоне $[0, 2\pi)$.
Переведем смешанную дробь в неправильную: $-12\frac{1}{3}\pi = -\frac{37}{3}\pi$.
Мы можем представить исходное число, выделив из него четное кратное $\pi$, которое меньше исходного числа. Ближайшее такое число — это $-14\pi$.
$-12\frac{1}{3}\pi = -14\pi + (14\pi - 12\frac{1}{3}\pi) = -14\pi + (\frac{42\pi}{3} - \frac{37\pi}{3}) = -14\pi + \frac{5\pi}{3}$.
Представим $-14\pi$ в виде $2\pi \cdot n$: $-14\pi = 2\pi \cdot (-7)$.
Получаем: $-12\frac{1}{3}\pi = \frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot (-7)$.
Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ и $n = -7$. Условие $0 \le \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ выполняется.
Ответ: $\frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot (-7)$.

г) Представим число $-17\frac{1}{6}\pi$ в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$.
Переведем смешанную дробь в неправильную: $-17\frac{1}{6}\pi = -\frac{103}{6}\pi$.
Аналогично предыдущему пункту, выделим четное кратное $\pi$, которое меньше исходного числа. Ближайшее такое число — это $-18\pi$.
$-17\frac{1}{6}\pi = -18\pi + (18\pi - 17\frac{1}{6}\pi) = -18\pi + (\frac{108\pi}{6} - \frac{103\pi}{6}) = -18\pi + \frac{5\pi}{6}$.
Представим $-18\pi$ в виде $2\pi \cdot n$: $-18\pi = 2\pi \cdot (-9)$.
Получаем: $-17\frac{1}{6}\pi = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-9)$.
Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ и $n = -9$. Условие $0 \le \frac{5\pi}{6} < 2\pi$ выполняется.
Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-9)$.