Номер 538, страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

538. Назовите несколько положительных и отрицательных углов, образованных такими поворотами, при каждом из которых угол между начальным и конечным положениями подвижного вектора равен:

а) $\frac{\pi}{6}$;

б) $\frac{\pi}{3}$;

в) $-\frac{\pi}{4}$;

г) $-\frac{\pi}{2}$.

Поворот на угол $\alpha$ и поворот на угол $\alpha + 2\pi k$ (где $k$ - любое целое число) приводят подвижный вектор в одно и то же конечное положение, так как $2\pi$ радиан соответствует полному обороту. Чтобы найти несколько положительных и отрицательных углов, мы будем подставлять различные целые значения $k$ (положительные и отрицательные) в формулу $\alpha_{new} = \alpha_{initial} + 2\pi k$.

а) Для угла $\frac{\pi}{6}$

Искомые углы находятся по формуле $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Найдем положительные углы, взяв $k=1$ и $k=2$:
При $k=1$: $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.
При $k=2$: $\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{25\pi}{6}$.
Найдем отрицательные углы, взяв $k=-1$ и $k=-2$:
При $k=-1$: $\frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$.
При $k=-2$: $\frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6}$.
Ответ: например, положительные углы $\frac{13\pi}{6}$ и $\frac{25\pi}{6}$; отрицательные углы $-\frac{11\pi}{6}$ и $-\frac{23\pi}{6}$.

б) Для угла $\frac{\pi}{3}$

Искомые углы находятся по формуле $\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Найдем положительные углы, взяв $k=1$ и $k=2$:
При $k=1$: $\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$.
При $k=2$: $\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{13\pi}{3}$.
Найдем отрицательные углы, взяв $k=-1$ и $k=-2$:
При $k=-1$: $\frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3}$.
При $k=-2$: $\frac{\pi}{3} - 4\pi = \frac{\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3}$.
Ответ: например, положительные углы $\frac{7\pi}{3}$ и $\frac{13\pi}{3}$; отрицательные углы $-\frac{5\pi}{3}$ и $-\frac{11\pi}{3}$.

в) Для угла $-\frac{\pi}{4}$

Искомые углы находятся по формуле $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.
Найдем положительные углы, взяв $k=1$ и $k=2$:
При $k=1$: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
При $k=2$: $-\frac{\pi}{4} + 4\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{15\pi}{4}$.
Найдем отрицательные углы, взяв $k=-1$ и $k=-2$:
При $k=-1$: $-\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$.
При $k=-2$: $-\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = -\frac{17\pi}{4}$.
Ответ: например, положительные углы $\frac{7\pi}{4}$ и $\frac{15\pi}{4}$; отрицательные углы $-\frac{9\pi}{4}$ и $-\frac{17\pi}{4}$.

г) Для угла $-\frac{\pi}{2}$

Искомые углы находятся по формуле $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
Найдем положительные углы, взяв $k=1$ и $k=2$:
При $k=1$: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi = -\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
При $k=2$: $-\frac{\pi}{2} + 4\pi = -\frac{\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$.
Найдем отрицательные углы, взяв $k=-1$ и $k=-2$:
При $k=-1$: $-\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}$.
При $k=-2$: $-\frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{\pi}{2} - \frac{8\pi}{2} = -\frac{9\pi}{2}$.
Ответ: например, положительные углы $\frac{3\pi}{2}$ и $\frac{7\pi}{2}$; отрицательные углы $-\frac{5\pi}{2}$ и $-\frac{9\pi}{2}$.