Номер 537, страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

537. Сколько полных оборотов и в каком направлении содержит угол, радианная мера которого равна:

a) $4\pi$; $-6\pi$; $12\pi$; $-7\pi$;

б) $-0,5\pi$; $3\frac{1}{3}\pi$; $-13,2\pi$; $21,7\pi$?

Чтобы определить количество полных оборотов и направление вращения для угла, заданного в радианах, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направление вращения по знаку угла:
   • Если угол положительный ($> 0$), вращение происходит против часовой стрелки.
   • Если угол отрицательный ($< 0$), вращение происходит по часовой стрелке.
2. Найти количество полных оборотов. Один полный оборот равен $2\pi$ радиан. Для этого нужно разделить модуль (абсолютное значение) угла на $2\pi$ и взять целую часть от результата. Формула: $N = \lfloor \frac{|\alpha|}{2\pi} \rfloor$, где $\alpha$ — заданный угол, а $N$ — число полных оборотов.

Для угла $4\pi$:
Направление: угол положительный, значит, вращение против часовой стрелки.
Количество полных оборотов: $\frac{|4\pi|}{2\pi} = \frac{4\pi}{2\pi} = 2$.
Ответ: 2 полных оборота против часовой стрелки.

Для угла $-6\pi$:
Направление: угол отрицательный, значит, вращение по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\frac{|-6\pi|}{2\pi} = \frac{6\pi}{2\pi} = 3$.
Ответ: 3 полных оборота по часовой стрелке.

Для угла $12\pi$:
Направление: угол положительный, значит, вращение против часовой стрелки.
Количество полных оборотов: $\frac{|12\pi|}{2\pi} = \frac{12\pi}{2\pi} = 6$.
Ответ: 6 полных оборотов против часовой стрелки.

Для угла $-7\pi$:
Направление: угол отрицательный, значит, вращение по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\lfloor \frac{|-7\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{7\pi}{2\pi} \rfloor = \lfloor 3,5 \rfloor = 3$.
Ответ: 3 полных оборота по часовой стрелке.

Для угла $-0,5\pi$:
Направление: угол отрицательный, значит, вращение по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\lfloor \frac{|-0,5\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{0,5\pi}{2\pi} \rfloor = \lfloor 0,25 \rfloor = 0$.
Ответ: 0 полных оборотов.

Для угла $3\frac{1}{3}\pi$ (или $\frac{10}{3}\pi$):
Направление: угол положительный, значит, вращение против часовой стрелки.
Количество полных оборотов: $\lfloor \frac{|\frac{10}{3}\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{10\pi}{3 \cdot 2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{10}{6} \rfloor = \lfloor 1,\!66... \rfloor = 1$.
Ответ: 1 полный оборот против часовой стрелки.

Для угла $-13,2\pi$:
Направление: угол отрицательный, значит, вращение по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\lfloor \frac{|-13,2\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{13,2\pi}{2\pi} \rfloor = \lfloor 6,6 \rfloor = 6$.
Ответ: 6 полных оборотов по часовой стрелке.

Для угла $21,7\pi$:
Направление: угол положительный, значит, вращение против часовой стрелки.
Количество полных оборотов: $\lfloor \frac{|21,7\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{21,7\pi}{2\pi} \rfloor = \lfloor 10,85 \rfloor = 10$.
Ответ: 10 полных оборотов против часовой стрелки.