Номер 547, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Построив угол, вычислите (547–549):

547. а) $\sin 120^{\circ}$;

б) $\cos \frac{2\pi}{3}$;

в) $\sin 135^{\circ}$;

г) $\cos \frac{3\pi}{4}$;

д) $\sin \frac{5\pi}{6}$;

е) $\cos 150^{\circ}$;

ж) $\sin \pi$;

з) $\cos 180^{\circ}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать единичную окружность и формулы приведения. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Любому углу $\alpha$ соответствует точка $P(x, y)$ на этой окружности, где $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Формулы приведения позволяют свести вычисление тригонометрических функций любого угла к функциям острого угла (от $0^\circ$ до $90^\circ$).

а) Угол $120^\circ$ находится во второй четверти единичной окружности. Чтобы найти значение $\sin 120^\circ$, используем формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$. Представим $120^\circ$ как $180^\circ - 60^\circ$.
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ$.
Значение синуса для угла $60^\circ$ является табличным.
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку синус во второй четверти положителен, значение $\sin 120^\circ$ также положительно.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан равен $120^\circ$ и находится во второй четверти. Для вычисления косинуса используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим угол как $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.
$\cos \frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3}$.
Табличное значение $\cos \frac{\pi}{3}$ (или $\cos 60^\circ$) равно $\frac{1}{2}$.
Поскольку косинус во второй четверти отрицателен, результат будет со знаком минус.
$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) Угол $135^\circ$ расположен во второй четверти. Применим формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$. Представим $135^\circ$ как $180^\circ - 45^\circ$.
$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ$.
Значение $\sin 45^\circ$ — это табличная величина.
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Синус во второй четверти положителен.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан равен $135^\circ$ и находится во второй четверти. Применяем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Так как $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$.
$\cos \frac{3\pi}{4} = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4}$.
Табличное значение $\cos \frac{\pi}{4}$ (или $\cos 45^\circ$) равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Косинус во второй четверти отрицателен.
$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

д) Угол $\frac{5\pi}{6}$ радиан равен $150^\circ$ и находится во второй четверти. Применим формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Представим угол как $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.
$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6}$.
Табличное значение $\sin \frac{\pi}{6}$ (или $\sin 30^\circ$) равно $\frac{1}{2}$.
Синус во второй четверти положителен.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

е) Угол $150^\circ$ находится во второй четверти. Используем формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим $150^\circ$ как $180^\circ - 30^\circ$.
$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ$.
Табличное значение $\cos 30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Косинус во второй четверти отрицателен.
$\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

ж) Угол $\pi$ радиан соответствует углу $180^\circ$. На единичной окружности этому углу соответствует точка, лежащая на отрицательной части оси абсцисс. Координаты этой точки $(-1, 0)$. Синус угла — это ордината (координата y) этой точки.
Следовательно, $\sin \pi = 0$.
Ответ: $0$.

з) Угол $180^\circ$ является граничным, его конечная сторона совпадает с отрицательным направлением оси Ox. На единичной окружности этому углу соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) этой точки.
Следовательно, $\cos 180^\circ = -1$.
Ответ: $-1$.