Страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Построив угол, вычислите (547–549):

547. а) $\sin 120^{\circ}$;

б) $\cos \frac{2\pi}{3}$;

в) $\sin 135^{\circ}$;

г) $\cos \frac{3\pi}{4}$;

д) $\sin \frac{5\pi}{6}$;

е) $\cos 150^{\circ}$;

ж) $\sin \pi$;

з) $\cos 180^{\circ}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать единичную окружность и формулы приведения. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Любому углу $\alpha$ соответствует точка $P(x, y)$ на этой окружности, где $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Формулы приведения позволяют свести вычисление тригонометрических функций любого угла к функциям острого угла (от $0^\circ$ до $90^\circ$).

а) Угол $120^\circ$ находится во второй четверти единичной окружности. Чтобы найти значение $\sin 120^\circ$, используем формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$. Представим $120^\circ$ как $180^\circ - 60^\circ$.
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ$.
Значение синуса для угла $60^\circ$ является табличным.
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку синус во второй четверти положителен, значение $\sin 120^\circ$ также положительно.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан равен $120^\circ$ и находится во второй четверти. Для вычисления косинуса используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим угол как $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.
$\cos \frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3}$.
Табличное значение $\cos \frac{\pi}{3}$ (или $\cos 60^\circ$) равно $\frac{1}{2}$.
Поскольку косинус во второй четверти отрицателен, результат будет со знаком минус.
$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) Угол $135^\circ$ расположен во второй четверти. Применим формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$. Представим $135^\circ$ как $180^\circ - 45^\circ$.
$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ$.
Значение $\sin 45^\circ$ — это табличная величина.
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Синус во второй четверти положителен.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан равен $135^\circ$ и находится во второй четверти. Применяем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Так как $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$.
$\cos \frac{3\pi}{4} = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4}$.
Табличное значение $\cos \frac{\pi}{4}$ (или $\cos 45^\circ$) равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Косинус во второй четверти отрицателен.
$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

д) Угол $\frac{5\pi}{6}$ радиан равен $150^\circ$ и находится во второй четверти. Применим формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Представим угол как $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.
$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6}$.
Табличное значение $\sin \frac{\pi}{6}$ (или $\sin 30^\circ$) равно $\frac{1}{2}$.
Синус во второй четверти положителен.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

е) Угол $150^\circ$ находится во второй четверти. Используем формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим $150^\circ$ как $180^\circ - 30^\circ$.
$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ$.
Табличное значение $\cos 30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Косинус во второй четверти отрицателен.
$\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

ж) Угол $\pi$ радиан соответствует углу $180^\circ$. На единичной окружности этому углу соответствует точка, лежащая на отрицательной части оси абсцисс. Координаты этой точки $(-1, 0)$. Синус угла — это ордината (координата y) этой точки.
Следовательно, $\sin \pi = 0$.
Ответ: $0$.

з) Угол $180^\circ$ является граничным, его конечная сторона совпадает с отрицательным направлением оси Ox. На единичной окружности этому углу соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) этой точки.
Следовательно, $\cos 180^\circ = -1$.
Ответ: $-1$.

548. a) $ \sin 225^\circ $;

б) $ \cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right) $;

в) $ \sin (-\pi) $;

г) $ \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) $;

д) $ \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) $;

е) $ \cos \frac{3\pi}{2} $.

а) Для нахождения значения $\sin{225^\circ}$ воспользуемся формулами приведения. Угол $225^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 225^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Представим $225^\circ$ в виде суммы $180^\circ + 45^\circ$.

$\sin{225^\circ} = \sin(180^\circ + 45^\circ)$

Согласно формуле приведения $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin{\alpha}$, получаем:

$\sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin{45^\circ}$

Так как значение $\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$\sin{225^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) Для вычисления $\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)$ используем свойство четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

Теперь применим формулу приведения. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$), где косинус отрицателен. Представим угол как разность $\pi - \frac{\pi}{4}$.

$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right)$

По формуле приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos{\alpha}$:

$\cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

$\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Для вычисления $\sin(-\pi)$ используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\sin(-\pi) = -\sin(\pi)$

Значение синуса от угла $\pi$ (или $180^\circ$) равно нулю. На единичной окружности этому углу соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Синус - это ордината (координата y) этой точки.

$-\sin(\pi) = -0 = 0$

Ответ: $0$

г) Для нахождения значения $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Угол $\frac{\pi}{3}$ соответствует $60^\circ$. Это табличное значение.

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

д) Для вычисления $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Значение синуса от угла $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$) является табличным и равно $1$. На единичной окружности этому углу соответствует точка $(0, 1)$.

$-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$

Ответ: $-1$

е) Значение $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ является табличным. Угол $\frac{3\pi}{2}$ соответствует $270^\circ$.

На единичной окружности этому углу соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Косинус угла - это абсцисса (координата x) этой точки.

Следовательно, $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$.

Ответ: $0$

549. а) $\sin \frac{11\pi}{2}$;

б) $\cos \left(-\frac{13\pi}{4}\right)$;

в) $\sin \frac{7\pi}{3}$;

г) $\cos \left(-\frac{13\pi}{6}\right)$.

а) Чтобы найти значение $\sin\frac{11\pi}{2}$, воспользуемся свойством периодичности функции синус, период которой равен $2\pi$.
Представим угол $\frac{11\pi}{2}$ в виде суммы, выделив целое число полных оборотов ($2\pi$):
$\frac{11\pi}{2} = \frac{8\pi + 3\pi}{2} = \frac{8\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 4\pi + \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.
Так как $2\pi$ является периодом синуса, то $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$ для любого целого $k$.
Следовательно, $\sin\frac{11\pi}{2} = \sin(2 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2})$.
Известно, что значение $\sin(\frac{3\pi}{2})$ равно -1.
Ответ: -1

б) Чтобы найти значение $\cos(-\frac{13\pi}{4})$, сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.
$\cos(-\frac{13\pi}{4}) = \cos(\frac{13\pi}{4})$.
Далее, используем периодичность косинуса (период $2\pi$). Выделим из угла $\frac{13\pi}{4}$ целое число периодов:
$\frac{13\pi}{4} = \frac{8\pi + 5\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4}$.
Следовательно, $\cos(\frac{13\pi}{4}) = \cos(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4})$.
Для вычисления $\cos(\frac{5\pi}{4})$ применим формулу приведения. Представим $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$.
Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, $\cos(-\frac{13\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Чтобы найти значение $\sin\frac{7\pi}{3}$, воспользуемся периодичностью функции синус (период $2\pi$).
Выделим из угла $\frac{7\pi}{3}$ целое число периодов:
$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.
Применяя свойство периодичности, получаем:
$\sin\frac{7\pi}{3} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) Чтобы найти значение $\cos\frac{13\pi}{6}$, воспользуемся периодичностью функции косинус (период $2\pi$).
Выделим из угла $\frac{13\pi}{6}$ целое число периодов:
$\frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.
Применяя свойство периодичности, получаем:
$\cos\frac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.
Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{6})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

550. На миллиметровой бумаге постройте систему координат с единичным отрезком 10 см. Постройте окружность с центром в начале координат, проходящую через точку (1; 0). Найдите приближённо (с точностью до сотых):

a) $ \sin 30^\circ $;

б) $ \cos 60^\circ $;

в) $ \sin 150^\circ $;

г) $ \cos 150^\circ $;

д) $ \sin 190^\circ $;

е) $ \cos 250^\circ $;

ж) $ \sin 250^\circ $;

з) $ \cos 300^\circ $;

и) $ \sin 300^\circ $.

Для решения задачи построим на миллиметровой бумаге прямоугольную систему координат $Oxy$. За единичный отрезок примем 10 см. Построим окружность с центром в начале координат $O(0; 0)$ и радиусом $R = 1$ (на бумаге это будет 10 см). Такая окружность называется единичной. Точка $(1; 0)$ лежит на этой окружности.

По определению, синус угла $\alpha$ есть ордината (координата $y$), а косинус угла $\alpha$ — абсцисса (координата $x$) точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной поворотом точки $(1; 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат.

Чтобы найти значения тригонометрических функций, мы откладываем соответствующий угол $\alpha$ от положительного направления оси $Ox$ (против часовой стрелки) с помощью транспортира. Затем отмечаем точку $P$ пересечения стороны угла с окружностью. Измерив ее координаты $x$ и $y$ в сантиметрах и разделив на 10 (длину единичного отрезка в см), мы получаем приближенные значения $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$. Точность измерения до миллиметра на бумаге позволяет получить точность до сотых в ответе ($1 \text{ мм} = 0.1 \text{ см}$, что соответствует $0.01$ единицы).

а) $\sin 30^\circ$

Отложим от положительного направления оси $Ox$ угол, равный $30^\circ$. Точка $P_1$, соответствующая этому углу, лежит в I координатной четверти. Ее ордината $y_1$ равна $\sin 30^\circ$. Измерив на миллиметровой бумаге расстояние от точки $P_1$ до оси $Ox$, получим 50 мм, или 5 см. Так как единичный отрезок равен 10 см, то $\sin 30^\circ = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$. С точностью до сотых это 0.50.

Ответ: $0.50$

б) $\cos 60^\circ$

Отложим угол в $60^\circ$. Соответствующая точка $P_2$ лежит в I четверти. Ее абсцисса $x_2$ равна $\cos 60^\circ$. Измерив расстояние от точки $P_2$ до оси $Oy$, получим 5 см. Таким образом, $\cos 60^\circ = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$. С точностью до сотых это 0.50.

Ответ: $0.50$

в) $\sin 150^\circ$

Угол $150^\circ$ находится во II четверти. Соответствующая точка $P_3$ имеет положительную ординату. $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$. Поэтому ордината точки $P_3$ равна ординате точки $P_1$ (для угла $30^\circ$). Измерение дает 5 см. Следовательно, $\sin 150^\circ = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$. С точностью до сотых это 0.50.

Ответ: $0.50$

г) $\cos 150^\circ$

Точка $P_3$ для угла $150^\circ$ находится во II четверти, поэтому ее абсцисса отрицательна. Измерив расстояние от $P_3$ до оси $Oy$, получим примерно 8.7 см (или 87 мм). Так как точка находится слева от оси $Oy$, координата отрицательна. $\cos 150^\circ = -\frac{8.7 \text{ см}}{10 \text{ см}} = -0.87$. (Точное значение: $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$).

Ответ: $-0.87$

д) $\sin 190^\circ$

Угол $190^\circ$ находится в III четверти ($190^\circ = 180^\circ + 10^\circ$). Точка $P_4$ лежит ниже оси $Ox$, ее ордината отрицательна. Измерив расстояние от точки $P_4$ до оси $Ox$, получим примерно 1.7 см (17 мм). Таким образом, $\sin 190^\circ \approx -\frac{1.7 \text{ см}}{10 \text{ см}} = -0.17$. (Точное значение: $\sin 190^\circ = -\sin 10^\circ \approx -0.1736$).

Ответ: $-0.17$

е) $\cos 250^\circ$

Угол $250^\circ$ находится в III четверти ($250^\circ = 180^\circ + 70^\circ$). Точка $P_5$ лежит слева от оси $Oy$, ее абсцисса отрицательна. Измерив расстояние от точки $P_5$ до оси $Oy$, получим примерно 3.4 см (34 мм). Таким образом, $\cos 250^\circ \approx -\frac{3.4 \text{ см}}{10 \text{ см}} = -0.34$. (Точное значение: $\cos 250^\circ = -\cos 70^\circ \approx -0.3420$).

Ответ: $-0.34$

ж) $\sin 250^\circ$

Точка $P_5$ для угла $250^\circ$ находится в III четверти, ее ордината отрицательна. Измерив расстояние от точки $P_5$ до оси $Ox$, получим примерно 9.4 см (94 мм). Следовательно, $\sin 250^\circ \approx -\frac{9.4 \text{ см}}{10 \text{ см}} = -0.94$. (Точное значение: $\sin 250^\circ = -\sin 70^\circ \approx -0.9397$).

Ответ: $-0.94$

з) $\cos 300^\circ$

Угол $300^\circ$ находится в IV четверти ($300^\circ = 360^\circ - 60^\circ$). Точка $P_6$ лежит справа от оси $Oy$, ее абсцисса положительна. Абсцисса точки $P_6$ совпадает с абсциссой точки $P_2$ (для угла $60^\circ$). Измерение дает 5 см. Таким образом, $\cos 300^\circ = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$. С точностью до сотых это 0.50.

Ответ: $0.50$

и) $\sin 300^\circ$

Точка $P_6$ для угла $300^\circ$ находится в IV четверти, ее ордината отрицательна. Измерив расстояние от точки $P_6$ до оси $Ox$, получим примерно 8.7 см (87 мм). Таким образом, $\sin 300^\circ \approx -\frac{8.7 \text{ см}}{10 \text{ см}} = -0.87$. (Точное значение: $\sin 300^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$).

Ответ: $-0.87$

551. а) На единичной окружности постройте точки $A_\alpha$, соответствующие углам $\alpha$, равным $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$.

б) Постройте точки, симметричные точкам $A_\alpha$ относительно оси $Ox$; оси $Oy$; начала системы координат.

в) Определите радианную меру углов, которым соответствуют построенные точки.

а) Для построения точек на единичной окружности введем прямоугольную систему координат $xOy$. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1. Углы отсчитываются от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки. Координаты $(x, y)$ точки $A_\alpha$ на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, определяются формулами $x = \cos \alpha$, $y = \sin \alpha$.

Найдем координаты для каждого заданного угла:
- Для угла $\alpha = 0$: точка $A_0$ имеет координаты $(\cos 0, \sin 0) = (1, 0)$. Эта точка совпадает с точкой пересечения окружности и положительной полуоси $Ox$.
- Для угла $\alpha = \frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$): точка $A_{\pi/6}$ имеет координаты $(\cos \frac{\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$. Эта точка расположена в первой координатной четверти.
- Для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$ (что соответствует $45^\circ$): точка $A_{\pi/4}$ имеет координаты $(\cos \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка расположена в первой координатной четверти на прямой $y=x$.
- Для угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$): точка $A_{\pi/3}$ имеет координаты $(\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Эта точка расположена в первой координатной четверти.
- Для угла $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (что соответствует $90^\circ$): точка $A_{\pi/2}$ имеет координаты $(\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}) = (0, 1)$. Эта точка совпадает с точкой пересечения окружности и положительной полуоси $Oy$.

Ответ: На единичной окружности построены точки $A_0(1,0)$, $A_{\pi/6}(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $A_{\pi/4}(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $A_{\pi/3}(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $A_{\pi/2}(0,1)$, расположенные в первой четверти и на ее границах.

б) Построение симметричных точек основано на правилах преобразования координат. Для точки $A(x,y)$:
- Точка, симметричная относительно оси $Ox$, имеет координаты $(x, -y)$.
- Точка, симметричная относительно оси $Oy$, имеет координаты $(-x, y)$.
- Точка, симметричная относительно начала координат, имеет координаты $(-x, -y)$.

1. Точки, симметричные относительно оси Ox:
- $A_0(1,0)$ симметрична сама себе.
- $A_{\pi/6}(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ симметрична точке $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ (IV четверть).
- $A_{\pi/4}(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ симметрична точке $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ (IV четверть).
- $A_{\pi/3}(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ симметрична точке $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ (IV четверть).
- $A_{\pi/2}(0,1)$ симметрична точке $(0, -1)$ на отрицательной полуоси $Oy$.

2. Точки, симметричные относительно оси Oy:
- $A_0(1,0)$ симметрична точке $(-1, 0)$ на отрицательной полуоси $Ox$.
- $A_{\pi/6}(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ симметрична точке $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ (II четверть).
- $A_{\pi/4}(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ симметрична точке $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ (II четверть).
- $A_{\pi/3}(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ симметрична точке $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ (II четверть).
- $A_{\pi/2}(0,1)$ симметрична сама себе.

3. Точки, симметричные относительно начала координат:
- $A_0(1,0)$ симметрична точке $(-1, 0)$.
- $A_{\pi/6}(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ симметрична точке $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ (III четверть).
- $A_{\pi/4}(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ симметрична точке $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ (III четверть).
- $A_{\pi/3}(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ симметрична точке $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ (III четверть).
- $A_{\pi/2}(0,1)$ симметрична точке $(0, -1)$.

Ответ: Построены точки, симметричные исходным, которые расположены во всех четырех координатных четвертях, а также на осях координат.

в) Радианная мера угла для точки, симметричной точке с углом $\alpha$, находится по формулам:
- Симметрия относительно оси $Ox$: угол $-\alpha$ (или $2\pi - \alpha$ для положительного значения в пределах одного оборота).
- Симметрия относительно оси $Oy$: угол $\pi - \alpha$.
- Симметрия относительно начала координат: угол $\pi + \alpha$.

1. Углы для точек, симметричных относительно оси Ox:
- Для $\alpha = 0$: угол равен $0$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{6}$: угол $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{4}$: угол $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{3}$: угол $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{2}$: угол $2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

2. Углы для точек, симметричных относительно оси Oy:
- Для $\alpha = 0$: угол $\pi - 0 = \pi$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{6}$: угол $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{4}$: угол $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{3}$: угол $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{2}$: угол $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

3. Углы для точек, симметричных относительно начала координат:
- Для $\alpha = 0$: угол $\pi + 0 = \pi$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{6}$: угол $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{4}$: угол $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{3}$: угол $\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{2}$: угол $\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: Радиановые меры углов, соответствующие построенным точкам (включая исходные, так как некоторые симметричные точки совпадают с исходными или другими симметричными):
- Симметричные относительно оси Ox: $0, \frac{11\pi}{6}, \frac{7\pi}{4}, \frac{5\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}$.
- Симметричные относительно оси Oy: $\pi, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$.
- Симметричные относительно начала координат: $\pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}$.

552. Найдите синусы и косинусы следующих углов (k — любое целое число):

а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k;$

б) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k;$

в) $\pi + 2\pi k;$

г) $-\pi + 2\pi k;$

д) $2\pi k;$

е) $4\pi k;$

ж) $\pi k;$

з) $-\pi k;$

и) $\frac{\pi}{2};$

к) $-\frac{\pi}{2};$

л) $\frac{\pi}{2} + \pi k;$

м) $-\frac{\pi}{2} + \pi k.$

а) Для угла $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ мы используем свойство периодичности синуса и косинуса. Период этих функций равен $2\pi$, поэтому прибавление $2\pi k$ (где $k$ — любое целое число) не изменяет значения функции.
$\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Ответ: $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$.

б) Для угла $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ мы также используем свойство периодичности, а затем свойства четности и нечетности тригонометрических функций.
$\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$ (поскольку синус — нечетная функция).
$\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ (поскольку косинус — четная функция).
Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -1$, $\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$.

в) Для угла $\pi + 2\pi k$ снова используем свойство периодичности.
$\sin(\pi + 2\pi k) = \sin(\pi) = 0$
$\cos(\pi + 2\pi k) = \cos(\pi) = -1$
Ответ: $\sin(\pi + 2\pi k) = 0$, $\cos(\pi + 2\pi k) = -1$.

г) Для угла $-\pi + 2\pi k$ используем свойство периодичности и свойства четности/нечетности.
$\sin(-\pi + 2\pi k) = \sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$
$\cos(-\pi + 2\pi k) = \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$
Ответ: $\sin(-\pi + 2\pi k) = 0$, $\cos(-\pi + 2\pi k) = -1$.

д) Угол $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов на единичной окружности, что эквивалентно углу 0.
$\sin(2\pi k) = \sin(0) = 0$
$\cos(2\pi k) = \cos(0) = 1$
Ответ: $\sin(2\pi k) = 0$, $\cos(2\pi k) = 1$.

е) Угол $4\pi k = 2\pi(2k)$ также представляет собой целое число полных оборотов, что эквивалентно углу 0.
$\sin(4\pi k) = \sin(0) = 0$
$\cos(4\pi k) = \cos(0) = 1$
Ответ: $\sin(4\pi k) = 0$, $\cos(4\pi k) = 1$.

ж) Для угла $\pi k$ результат зависит от четности числа $k$.
1. Если $k$ — четное число, т.е. $k=2n$ (где $n$ — целое), то угол равен $2\pi n$. В этом случае $\sin(2\pi n)=0$ и $\cos(2\pi n)=1$.
2. Если $k$ — нечетное число, т.е. $k=2n+1$, то угол равен $\pi(2n+1) = \pi + 2\pi n$. В этом случае $\sin(\pi+2\pi n)=\sin(\pi)=0$ и $\cos(\pi+2\pi n)=\cos(\pi)=-1$.
Таким образом, $\sin(\pi k)$ всегда равен 0. Значение $\cos(\pi k)$ равно 1 для четных $k$ и -1 для нечетных $k$. Это можно записать с помощью формулы $(-1)^k$.
Ответ: $\sin(\pi k) = 0$, $\cos(\pi k) = (-1)^k$.

з) Для угла $-\pi k$ используем результаты из предыдущего пункта и свойства четности/нечетности.
$\sin(-\pi k) = -\sin(\pi k) = -0 = 0$
$\cos(-\pi k) = \cos(\pi k) = (-1)^k$
Ответ: $\sin(-\pi k) = 0$, $\cos(-\pi k) = (-1)^k$.

и) Для постоянного угла $\frac{\pi}{2}$ значения синуса и косинуса являются табличными.
$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Ответ: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

к) Для постоянного угла $-\frac{\pi}{2}$ используем свойства четности/нечетности.
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$
$\cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.

л) Для угла $\frac{\pi}{2} + \pi k$ результат зависит от четности $k$.
1. Если $k$ — четное ($k=2n$), угол равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Тогда $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2})=1$ и $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{2})=0$.
2. Если $k$ — нечетное ($k=2n+1$), угол равен $\frac{\pi}{2} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Тогда $\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{3\pi}{2})=-1$ и $\cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(\frac{3\pi}{2})=0$.
Таким образом, $\cos(\frac{\pi}{2} + \pi k)$ всегда равен 0. Значение $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k)$ равно 1 для четных $k$ и -1 для нечетных $k$, что можно записать как $(-1)^k$.
Ответ: $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k$, $\cos(\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$.

м) Для угла $-\frac{\pi}{2} + \pi k$ результат также зависит от четности $k$.
1. Если $k$ — четное ($k=2n$), угол равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Тогда $\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ и $\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(-\frac{\pi}{2})=0$.
2. Если $k$ — нечетное ($k=2n+1$), угол равен $-\frac{\pi}{2} + \pi(2n+1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Тогда $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2})=1$ и $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{2})=0$.
Таким образом, $\cos(-\frac{\pi}{2} + \pi k)$ всегда равен 0. Значение $\sin(-\frac{\pi}{2} + \pi k)$ равно -1 для четных $k$ и 1 для нечетных $k$, что можно записать как $(-1)^{k+1}$.
Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^{k+1}$, $\cos(-\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$.

553. Верно ли равенство:

а) $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \frac{\pi}{2}$;

б) $\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{4}$?

а) Для проверки равенства $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} $ можно воспользоваться свойством нечетности функции синус, которое гласит, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

В данном случае $ x = \frac{\pi}{2} $. Применяя свойство нечетности, мы получаем, что равенство $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} $ является верным.

Также можно проверить равенство, вычислив значения обеих его частей.

Значение левой части: $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $.

Значение правой части: $ -\sin\frac{\pi}{2} = -(1) = -1 $.

Поскольку $ -1 = -1 $, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

б) Для проверки равенства $ \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} $ можно воспользоваться свойством четности функции косинус, которое гласит, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $ \cos(-x) = \cos(x) $.

В данном случае $ x = \frac{\pi}{4} $. Применяя свойство четности, мы получаем, что равенство $ \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} $ является верным.

Также можно проверить равенство, вычислив значения обеих его частей.

Значение левой части: $ \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Значение правой части: $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Поскольку $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

554. а) Отметьте на единичной окружности примерное положение точек, соответствующих углам, радианная мера которых равна 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

б) Определите с точностью до 0,1 значения синусов и косинусов этих углов.

а)

Для того чтобы отметить на единичной окружности точки, соответствующие углам в радианах, необходимо знать приблизительные значения ключевых точек окружности в радианах: $0$ (начало отсчета), $\pi/2 \approx 1.57$ (верхняя точка), $\pi \approx 3.14$ (левая точка), $3\pi/2 \approx 4.71$ (нижняя точка) и $2\pi \approx 6.28$ (полный оборот).

Расположим заданные углы на окружности, сравнивая их с ключевыми значениями:

Точка 1 ($0 < 1 < 1.57$) находится в I четверти.
Точка 2 ($1.57 < 2 < 3.14$) находится во II четверти.
Точка 3 ($1.57 < 3 < 3.14$) находится во II четверти, очень близко к $\pi$.
Точка 4 ($3.14 < 4 < 4.71$) находится в III четверти.
Точка 5 ($4.71 < 5 < 6.28$) находится в IV четверти.
Точка 6 ($4.71 < 6 < 6.28$) находится в IV четверти, очень близко к $2\pi$.
Точка 7 ($7 > 2\pi \approx 6.28$) находится в I четверти, так как ее положение совпадает с положением угла $7 - 2\pi \approx 0.72$ радиана.

Примерное положение точек на единичной окружности показано на рисунке:

Ответ:

Точки 1 и 7 находятся в I четверти, точки 2 и 3 - во II четверти, точка 4 - в III четверти, точки 5 и 6 - в IV четверти. Их примерное расположение показано на рисунке выше.

б)

Определим значения синусов и косинусов для данных углов с помощью калькулятора (в режиме радиан) и округлим их до десятых. На единичной окружности значение косинуса угла соответствует координате x, а значение синуса — координате y.

Для угла 1 радиан: $\cos(1) \approx 0.5403 \approx 0.5$; $\sin(1) \approx 0.8415 \approx 0.8$.
Для угла 2 радиана: $\cos(2) \approx -0.4161 \approx -0.4$; $\sin(2) \approx 0.9093 \approx 0.9$.
Для угла 3 радиана: $\cos(3) \approx -0.9900 \approx -1.0$; $\sin(3) \approx 0.1411 \approx 0.1$.
Для угла 4 радиана: $\cos(4) \approx -0.6536 \approx -0.7$; $\sin(4) \approx -0.7568 \approx -0.8$.
Для угла 5 радианов: $\cos(5) \approx 0.2837 \approx 0.3$; $\sin(5) \approx -0.9589 \approx -1.0$.
Для угла 6 радианов: $\cos(6) \approx 0.9602 \approx 1.0$; $\sin(6) \approx -0.2794 \approx -0.3$.
Для угла 7 радианов: $\cos(7) \approx 0.7539 \approx 0.8$; $\sin(7) \approx 0.6570 \approx 0.7$.

Ответ:

$\cos(1) \approx 0.5, \sin(1) \approx 0.8$
$\cos(2) \approx -0.4, \sin(2) \approx 0.9$
$\cos(3) \approx -1.0, \sin(3) \approx 0.1$
$\cos(4) \approx -0.7, \sin(4) \approx -0.8$
$\cos(5) \approx 0.3, \sin(5) \approx -1.0$
$\cos(6) \approx 1.0, \sin(6) \approx -0.3$
$\cos(7) \approx 0.8, \sin(7) \approx 0.7$