Страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

529. Представьте следующие углы в виде $ \alpha + 360^{\circ} \cdot n $, где $ 0 \leq \alpha < 360^{\circ} $, $ n $ — некоторое целое число:

а) $ 400^{\circ} $;

б) $ -500^{\circ} $;

в) $ 600^{\circ} $;

г) $ -900^{\circ} $.

Чтобы представить заданный угол в виде $\alpha + 360^\circ \cdot n$, где $0 \le \alpha < 360^\circ$ и $n$ — целое число, необходимо найти такое целое число $n$ (количество полных оборотов), чтобы угол $\alpha$ попал в указанный диапазон. По сути, это нахождение остатка от деления заданного угла на $360^\circ$.

а) Для угла 400°:
Чтобы найти $\alpha$, мы вычитаем из 400° столько полных оборотов по $360^\circ$, чтобы результат оказался в промежутке $[0, 360^\circ)$.
$400^\circ - 360^\circ = 40^\circ$.
Мы вычли один полный оборот, значит $n=1$. Угол $\alpha = 40^\circ$ удовлетворяет условию $0 \le 40^\circ < 360^\circ$.
Таким образом, $400^\circ = 40^\circ + 360^\circ \cdot 1$.
Ответ: $40^\circ + 360^\circ \cdot 1$

б) Для угла –500°:
Для отрицательных углов мы прибавляем полные обороты по $360^\circ$, пока не получим угол в нужном диапазоне.
$-500^\circ + 360^\circ = -140^\circ$ (не входит в диапазон).
$-140^\circ + 360^\circ = 220^\circ$ (входит в диапазон).
Мы прибавили $360^\circ$ дважды, то есть совершили $-2$ полных оборота в отрицательном направлении. Значит, $n=-2$, а $\alpha = 220^\circ$.
Таким образом, $-500^\circ = 220^\circ + 360^\circ \cdot (-2)$.
Ответ: $220^\circ + 360^\circ \cdot (-2)$

в) Для угла 600°:
Вычитаем полные обороты из 600°.
$600^\circ - 360^\circ = 240^\circ$.
Угол $\alpha = 240^\circ$ удовлетворяет условию $0 \le 240^\circ < 360^\circ$. Мы вычли один полный оборот, поэтому $n=1$.
Таким образом, $600^\circ = 240^\circ + 360^\circ \cdot 1$.
Ответ: $240^\circ + 360^\circ \cdot 1$

г) Для угла –900°:
Прибавляем полные обороты к –900°.
$-900^\circ + 360^\circ = -540^\circ$.
$-540^\circ + 360^\circ = -180^\circ$.
$-180^\circ + 360^\circ = 180^\circ$.
Мы прибавили $360^\circ$ три раза. Это означает, что $n=-3$, а $\alpha = 180^\circ$. Условие $0 \le 180^\circ < 360^\circ$ выполняется.
Таким образом, $-900^\circ = 180^\circ + 360^\circ \cdot (-3)$.
Ответ: $180^\circ + 360^\circ \cdot (-3)$

530. Запишите градусные меры всех углов AOB, AOC, AOD, AOE, изображённых на рисунке 70.
Например, все углы AOB равны $90^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in Z$ (см. рис. 70, a).

Для нахождения всех градусных мер углов мы определяем наименьший положительный угол поворота от начального луча OA до конечного луча (OB, OC, OD, OE) и добавляем к нему целое число полных оборотов, то есть $360° \cdot n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Будем считать, что луч OA совпадает с положительным направлением оси Ox.

AOB

Этот случай разобран в условии задачи в качестве примера. Луч OB совпадает с положительным направлением оси Oy. Наименьший положительный угол поворота от OA к OB равен $90°$. Таким образом, все углы AOB выражаются формулой $90° + 360° \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $90° + 360° \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

AOC

Предположим, что луч OC совпадает с отрицательным направлением оси Ox. В этом случае наименьший положительный угол поворота от луча OA к лучу OC составляет $180°$ (развернутый угол). Общая формула для всех углов AOC будет $180° + 360° \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $180° + 360° \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

AOD

Предположим, что луч OD совпадает с отрицательным направлением оси Oy. Наименьший положительный угол поворота против часовой стрелки от луча OA к лучу OD составляет $270°$. Общая формула для всех углов AOD будет $270° + 360° \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $270° + 360° \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

AOE

Исходя из типичного расположения лучей в подобных задачах, можно предположить, что луч OE является биссектрисой угла AOB (первого координатного угла). Поскольку угол AOB равен $90°$, угол AOE будет равен $90° / 2 = 45°$. Это наименьший положительный угол. Общая формула для всех углов AOE будет $45° + 360° \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $45° + 360° \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.