Страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

519. Изобразите на координатной плоскости угол $AOB$, полученный поворотом против часовой стрелки подвижного вектора $\vec{OA}$ до вектора $\vec{OB}$ на:

а) $\frac{1}{2}$ полного оборота;

б) 0,25 полного оборота;

в) $\frac{3}{4}$ полного оборота;

г) 1,75 полного оборота;

д) 1 полный оборот;

е) 2,5 полного оборота.

Для решения задачи представим координатную плоскость с осями Ох и Оу. Примем, что начальный вектор $\vec{OA}$ расположен вдоль положительного направления оси Ох. Поворот подвижного вектора для получения вектора $\vec{OB}$ осуществляется против часовой стрелки от вектора $\vec{OA}$. Полный оборот равен $360^\circ$.

Угол поворота составляет $\frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$. Начальный вектор $\vec{OA}$, совпадающий с положительным направлением оси Ох, поворачивается на $180^\circ$ против часовой стрелки. В результате, конечный вектор $\vec{OB}$ будет расположен на отрицательном направлении оси Ох, то есть будет направлен в противоположную сторону от $\vec{OA}$. Угол $AOB$ является развернутым. Если точка $A$ имеет координаты $(r, 0)$, то точка $B$ будет иметь координаты $(-r, 0)$, где $r > 0$.
Ответ: Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной полуоси Ох. Угол поворота равен $180^\circ$.

Угол поворота составляет $0,25 \cdot 360^\circ = 90^\circ$. Поворот вектора $\vec{OA}$ на $90^\circ$ против часовой стрелки приведет вектор $\vec{OB}$ в положение вдоль положительного направления оси Оу. Угол $AOB$ является прямым. Если точка $A$ имеет координаты $(r, 0)$, то точка $B$ будет иметь координаты $(0, r)$, где $r > 0$.
Ответ: Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль положительной полуоси Оу. Угол поворота равен $90^\circ$.

Угол поворота составляет $\frac{3}{4} \cdot 360^\circ = 270^\circ$. Поворот вектора $\vec{OA}$ на $270^\circ$ против часовой стрелки приведет вектор $\vec{OB}$ в положение вдоль отрицательного направления оси Оу. Этот поворот также эквивалентен повороту на $90^\circ$ по часовой стрелке. Если точка $A$ имеет координаты $(r, 0)$, то точка $B$ будет иметь координаты $(0, -r)$, где $r > 0$.
Ответ: Вектор $\vec{OB}$ будет направлен вдоль отрицательной полуоси Оу. Угол поворота равен $270^\circ$.

Угол поворота составляет $1,75 \cdot 360^\circ = 630^\circ$. Чтобы определить конечное положение, учтем полные обороты: $630^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 270^\circ$. Это означает, что вектор совершает один полный оборот и дополнительно поворачивается на $270^\circ$. Таким образом, конечное положение вектора $\vec{OB}$ совпадает с положением из пункта (в), то есть он будет направлен вдоль отрицательной оси Оу. Если точка $A$ имеет координаты $(r, 0)$, то точка $B$ будет иметь координаты $(0, -r)$, где $r > 0$.
Ответ: Вектор $\vec{OB}$ совершит один полный оборот и остановится в положении, направленном вдоль отрицательной полуоси Оу. Угол поворота равен $630^\circ$.

Угол поворота составляет $1 \cdot 360^\circ = 360^\circ$. Вектор совершает один полный оборот против часовой стрелки и возвращается в свое исходное положение. Таким образом, вектор $\vec{OB}$ полностью совпадает с вектором $\vec{OA}$ и направлен вдоль положительной оси Ох. Если точка $A$ имеет координаты $(r, 0)$, то точка $B$ также будет иметь координаты $(r, 0)$, где $r > 0$.
Ответ: Вектор $\vec{OB}$ совпадет с вектором $\vec{OA}$ и будет направлен вдоль положительной полуоси Ох. Угол поворота равен $360^\circ$.

Угол поворота составляет $2,5 \cdot 360^\circ = 900^\circ$. Чтобы определить конечное положение, учтем полные обороты: $900^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 180^\circ$. Это означает, что вектор совершает два полных оборота и дополнительно поворачивается на $180^\circ$. Таким образом, конечное положение вектора $\vec{OB}$ совпадает с положением из пункта (а), то есть он будет направлен вдоль отрицательной оси Ох. Если точка $A$ имеет координаты $(r, 0)$, то точка $B$ будет иметь координаты $(-r, 0)$, где $r > 0$.
Ответ: Вектор $\vec{OB}$ совершит два полных оборота и остановится в положении, направленном вдоль отрицательной полуоси Ох. Угол поворота равен $900^\circ$.