Страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

524. Сколько полных оборотов и в каком направлении содержит угол, градусная мера которого равна:

а) $700^\circ$;

б) $-320^\circ$;

в) $2000^\circ$;

г) $3800^\circ$;

д) $-600^\circ$;

е) $-800^\circ$;

ж) $-1500^\circ$;

з) $-2400^\circ$?

Чтобы определить количество полных оборотов и направление для заданного угла, необходимо:

1. Определить направление вращения по знаку угла: положительный знак соответствует вращению против часовой стрелки, отрицательный — по часовой стрелке.
2. Для нахождения количества полных оборотов нужно разделить модуль градусной меры угла на $360^\circ$ (величина одного полного оборота) и взять целую часть от результата.

а) $700^\circ$
Угол положительный, следовательно, направление вращения — против часовой стрелки.
Найдем количество полных оборотов:
$700 \div 360 = 1$ (остаток $340$). Или, используя функцию целой части: $\lfloor 700 / 360 \rfloor = 1$.
Таким образом, угол содержит 1 полный оборот.
Ответ: 1 полный оборот против часовой стрелки.

б) $-320^\circ$
Угол отрицательный, следовательно, направление вращения — по часовой стрелке.
Найдем количество полных оборотов, используя модуль угла:
$|-320| = 320$.
$320 \div 360 = 0$ (остаток $320$). Или: $\lfloor 320 / 360 \rfloor = 0$.
Таким образом, угол не содержит полных оборотов.
Ответ: 0 полных оборотов.

в) $2000^\circ$
Угол положительный, направление — против часовой стрелки.
Количество полных оборотов: $\lfloor 2000 / 360 \rfloor = \lfloor 5.55... \rfloor = 5$.
Угол содержит 5 полных оборотов.
Ответ: 5 полных оборотов против часовой стрелки.

г) $3800^\circ$
Угол положительный, направление — против часовой стрелки.
Количество полных оборотов: $\lfloor 3800 / 360 \rfloor = \lfloor 10.55... \rfloor = 10$.
Угол содержит 10 полных оборотов.
Ответ: 10 полных оборотов против часовой стрелки.

д) $-600^\circ$
Угол отрицательный, направление — по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\lfloor |-600| / 360 \rfloor = \lfloor 600 / 360 \rfloor = \lfloor 1.66... \rfloor = 1$.
Угол содержит 1 полный оборот.
Ответ: 1 полный оборот по часовой стрелке.

е) $-800^\circ$
Угол отрицательный, направление — по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\lfloor |-800| / 360 \rfloor = \lfloor 800 / 360 \rfloor = \lfloor 2.22... \rfloor = 2$.
Угол содержит 2 полных оборота.
Ответ: 2 полных оборота по часовой стрелке.

ж) $-1500^\circ$
Угол отрицательный, направление — по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\lfloor |-1500| / 360 \rfloor = \lfloor 1500 / 360 \rfloor = \lfloor 4.16... \rfloor = 4$.
Угол содержит 4 полных оборота.
Ответ: 4 полных оборота по часовой стрелке.

з) $-2400^\circ$
Угол отрицательный, направление — по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\lfloor |-2400| / 360 \rfloor = \lfloor 2400 / 360 \rfloor = \lfloor 6.66... \rfloor = 6$.
Угол содержит 6 полных оборотов.
Ответ: 6 полных оборотов по часовой стрелке.

525. а) Определите по рисунку 70, а наименьшую по абсолютной величине градусную меру углов $AOB$, $AOC$, $AOD$.

б) Определите по рисунку 70, б—г наименьшую по абсолютной величине градусную меру углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $AOE$.

a)

Для решения задачи используется рисунок 70, а. За начальный луч OA принимается положительное направление оси Ox. Положительным направлением поворота считается направление против часовой стрелки. Наименьшая по абсолютной величине градусная мера угла — это значение угла $\alpha$ в промежутке $(-180^\circ, 180^\circ]$.

Для угла AOB: Луч OB образует с лучом OA угол $45^\circ$. Это значение является наименьшим по абсолютной величине.

Для угла AOC: Луч OC совпадает с положительным направлением оси Oy, что соответствует углу $90^\circ$. Это значение является наименьшим по абсолютной величине.

Для угла AOD: Луч OD находится во второй четверти. Угол между ним и отрицательным направлением оси Ox равен $45^\circ$. Следовательно, угол, отсчитываемый от OA против часовой стрелки, равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Это значение является наименьшим по абсолютной величине.

Ответ: $\angle AOB = 45^\circ$; $\angle AOC = 90^\circ$; $\angle AOD = 135^\circ$.

б)

Для решения задачи используются рисунки 70, б, в, г. За начальный луч OA принимается положительное направление оси Ox. Наименьшую по абсолютной величине меру угла $\alpha$ ищем в промежутке $(-180^\circ, 180^\circ]$.

Для рисунка 70, б:

$\angle AOB$: Луч OB образует с лучом OA угол $60^\circ$, поэтому $\angle AOB = 60^\circ$.

$\angle AOC$: Луч OC находится во второй четверти и образует с отрицательным направлением оси Ox угол $30^\circ$, поэтому $\angle AOC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

$\angle AOD$: Луч OD находится в третьей четверти. Угол, измеренный по часовой стрелке (отрицательное направление), равен $-(180^\circ - 60^\circ) = -120^\circ$. Это наименьшая по модулю мера, так как $|-120^\circ| < |180^\circ + 60^\circ|$. Поэтому $\angle AOD = -120^\circ$.

$\angle AOE$: Луч OE находится в четвертой четверти, угол измеряется по часовой стрелке и равен $30^\circ$. Поэтому $\angle AOE = -30^\circ$.

Ответ: $\angle AOB = 60^\circ$; $\angle AOC = 150^\circ$; $\angle AOD = -120^\circ$; $\angle AOE = -30^\circ$.

Для рисунка 70, в:

$\angle AOB$: Луч OB совпадает с положительным направлением оси Oy, поэтому $\angle AOB = 90^\circ$.

$\angle AOC$: Луч OC совпадает с отрицательным направлением оси Ox, поэтому $\angle AOC = 180^\circ$.

$\angle AOD$: Луч OD в четвертой четверти. Угол по часовой стрелке до отрицательной оси Oy равен $-90^\circ$, и еще $-45^\circ$ до луча OD. Итого $\angle AOD = -90^\circ - 45^\circ = -135^\circ$.

$\angle AOE$: Луч OE в четвертой четверти. Угол измеряется по часовой стрелке и равен $45^\circ$. Поэтому $\angle AOE = -45^\circ$.

Ответ: $\angle AOB = 90^\circ$; $\angle AOC = 180^\circ$; $\angle AOD = -135^\circ$; $\angle AOE = -45^\circ$.

Для рисунка 70, г:

$\angle AOB$: Луч OB в первой четверти. Угол от положительной оси Oy равен $30^\circ$. Поэтому $\angle AOB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

$\angle AOC$: Луч OC во второй четверти. Угол от положительной оси Oy равен $30^\circ$. Поэтому $\angle AOC = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.

$\angle AOD$: Луч OD совпадает с отрицательным направлением оси Oy. Угол по часовой стрелке равен $-90^\circ$. Поэтому $\angle AOD = -90^\circ$.

$\angle AOE$: Луч OE в четвертой четверти. Угол от отрицательной оси Oy равен $60^\circ$. Угол от положительной оси Ox по часовой стрелке равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Поэтому $\angle AOE = -30^\circ$.

Ответ: $\angle AOB = 60^\circ$; $\angle AOC = 120^\circ$; $\angle AOD = -90^\circ$; $\angle AOE = -30^\circ$.

526. Постройте без помощи транспортира в координатной плоскости углы:

a) $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$, $360^\circ$;

б) $45^\circ$, $135^\circ$, $225^\circ$, $315^\circ$;

в) $60^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$, $300^\circ$;

г) $30^\circ$, $150^\circ$, $210^\circ$, $330^\circ$;

д) $-45^\circ$, $-90^\circ$, $-135^\circ$, $-180^\circ$;

е) $-60^\circ$, $-120^\circ$, $-240^\circ$, $-300^\circ$.

527. Укажите несколько положительных и отрицательных углов, образованных такими поворотами, при каждом из которых угол между начальным и конечным положением подвижного вектора равен $30^\circ$, $-45^\circ$, $60^\circ$, $-90^\circ$.

Чтобы найти другие углы поворота, которые приводят к тому же конечному положению подвижного вектора, необходимо к исходному углу прибавить или вычесть целое число полных оборотов. Полный оборот составляет $360^\circ$.

Таким образом, все углы $ \beta $, соответствующие тому же положению, что и угол $ \alpha $, можно найти по общей формуле:
$ \beta = \alpha + 360^\circ \cdot k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Для каждого заданного угла найдем несколько примеров положительных и отрицательных углов, подставляя различные целые значения $ k $.

30°
Для угла $ \alpha = 30^\circ $ формула имеет вид: $ \beta = 30^\circ + 360^\circ \cdot k $.
Примеры положительных углов:
- При $ k = 1 $: $ \beta = 30^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 390^\circ $.
- При $ k = 2 $: $ \beta = 30^\circ + 360^\circ \cdot 2 = 30^\circ + 720^\circ = 750^\circ $.
(Сам угол $ 30^\circ $ также является положительным углом, соответствующим $ k=0 $).
Примеры отрицательных углов:
- При $ k = -1 $: $ \beta = 30^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 30^\circ - 360^\circ = -330^\circ $.
- При $ k = -2 $: $ \beta = 30^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = 30^\circ - 720^\circ = -690^\circ $.
Ответ: например, положительные углы $ 390^\circ, 750^\circ $; отрицательные углы $ -330^\circ, -690^\circ $.

-45°
Для угла $ \alpha = -45^\circ $ формула имеет вид: $ \beta = -45^\circ + 360^\circ \cdot k $.
Примеры положительных углов:
- При $ k = 1 $: $ \beta = -45^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 315^\circ $.
- При $ k = 2 $: $ \beta = -45^\circ + 360^\circ \cdot 2 = -45^\circ + 720^\circ = 675^\circ $.
Примеры отрицательных углов:
- При $ k = 0 $: $ \beta = -45^\circ $ (исходный угол).
- При $ k = -1 $: $ \beta = -45^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = -45^\circ - 360^\circ = -405^\circ $.
- При $ k = -2 $: $ \beta = -45^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = -45^\circ - 720^\circ = -765^\circ $.
Ответ: например, положительные углы $ 315^\circ, 675^\circ $; отрицательные углы $ -405^\circ, -765^\circ $.

60°
Для угла $ \alpha = 60^\circ $ формула имеет вид: $ \beta = 60^\circ + 360^\circ \cdot k $.
Примеры положительных углов:
- При $ k = 1 $: $ \beta = 60^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 420^\circ $.
- При $ k = 2 $: $ \beta = 60^\circ + 360^\circ \cdot 2 = 60^\circ + 720^\circ = 780^\circ $.
(Сам угол $ 60^\circ $ также является положительным углом, соответствующим $ k=0 $).
Примеры отрицательных углов:
- При $ k = -1 $: $ \beta = 60^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 60^\circ - 360^\circ = -300^\circ $.
- При $ k = -2 $: $ \beta = 60^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = 60^\circ - 720^\circ = -660^\circ $.
Ответ: например, положительные углы $ 420^\circ, 780^\circ $; отрицательные углы $ -300^\circ, -660^\circ $.

-90°
Для угла $ \alpha = -90^\circ $ формула имеет вид: $ \beta = -90^\circ + 360^\circ \cdot k $.
Примеры положительных углов:
- При $ k = 1 $: $ \beta = -90^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 270^\circ $.
- При $ k = 2 $: $ \beta = -90^\circ + 360^\circ \cdot 2 = -90^\circ + 720^\circ = 630^\circ $.
Примеры отрицательных углов:
- При $ k = 0 $: $ \beta = -90^\circ $ (исходный угол).
- При $ k = -1 $: $ \beta = -90^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = -90^\circ - 360^\circ = -450^\circ $.
- При $ k = -2 $: $ \beta = -90^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = -90^\circ - 720^\circ = -810^\circ $.
Ответ: например, положительные углы $ 270^\circ, 630^\circ $; отрицательные углы $ -450^\circ, -810^\circ $.

528. Укажите наименьший по абсолютной величине угол среди данных углов:

а) $30^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

б) $-120^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

в) $270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

г) $-270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

д) $400^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

е) $-700^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти наименьший по абсолютной величине угол среди данных, необходимо для каждой серии углов вида $\alpha + 360^\circ \cdot n$ найти тот угол, который ближе всего к $0^\circ$. Это означает, что его абсолютная величина (модуль) будет минимальной. Затем мы сравним эти минимальные значения, найденные для каждой серии.

Чтобы найти угол, ближайший к $0^\circ$, подбираем целое число $n$.
При $n=0$, угол равен $30^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 30^\circ$. Его абсолютная величина: $|30^\circ| = 30^\circ$.
При $n=-1$, угол равен $30^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = -330^\circ$. Его абсолютная величина: $|-330^\circ| = 330^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $30^\circ$.

Подбираем $n$:
При $n=0$, угол равен $-120^\circ + 360^\circ \cdot 0 = -120^\circ$. Его абсолютная величина: $|-120^\circ| = 120^\circ$.
При $n=1$, угол равен $-120^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 240^\circ$. Его абсолютная величина: $|240^\circ| = 240^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $120^\circ$.

Подбираем $n$:
При $n=0$, угол равен $270^\circ$. Его абсолютная величина: $|270^\circ| = 270^\circ$.
При $n=-1$, угол равен $270^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = -90^\circ$. Его абсолютная величина: $|-90^\circ| = 90^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $90^\circ$.

Подбираем $n$:
При $n=0$, угол равен $-270^\circ$. Его абсолютная величина: $|-270^\circ| = 270^\circ$.
При $n=1$, угол равен $-270^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 90^\circ$. Его абсолютная величина: $|90^\circ| = 90^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $90^\circ$.

Подбираем $n$:
При $n=-1$, угол равен $400^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 40^\circ$. Его абсолютная величина: $|40^\circ| = 40^\circ$.
При $n=0$, угол равен $400^\circ$. Его абсолютная величина: $|400^\circ| = 400^\circ$.
При $n=-2$, угол равен $400^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = -320^\circ$. Его абсолютная величина: $|-320^\circ| = 320^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $40^\circ$.

Подбираем $n$ так, чтобы значение $360^\circ \cdot n$ было близко к $700^\circ$. Поскольку $700 \div 360 \approx 1.94$, ближайшее целое число это $n=2$.
При $n=2$, угол равен $-700^\circ + 360^\circ \cdot 2 = -700^\circ + 720^\circ = 20^\circ$. Его абсолютная величина: $|20^\circ| = 20^\circ$.
При $n=1$, угол равен $-700^\circ + 360^\circ \cdot 1 = -340^\circ$. Его абсолютная величина: $|-340^\circ| = 340^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $20^\circ$.

Сравним наименьшие абсолютные величины, найденные для каждой серии: $30^\circ, 120^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 40^\circ, 20^\circ$.

Наименьшее из этих значений — $20^\circ$. Этот модуль соответствует углу $20^\circ$, который получен из серии е).

Ответ: $20^\circ$