Номер 528, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

528. Укажите наименьший по абсолютной величине угол среди данных углов:

а) $30^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

б) $-120^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

в) $270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

г) $-270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

д) $400^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

е) $-700^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти наименьший по абсолютной величине угол среди данных, необходимо для каждой серии углов вида $\alpha + 360^\circ \cdot n$ найти тот угол, который ближе всего к $0^\circ$. Это означает, что его абсолютная величина (модуль) будет минимальной. Затем мы сравним эти минимальные значения, найденные для каждой серии.

Чтобы найти угол, ближайший к $0^\circ$, подбираем целое число $n$.
При $n=0$, угол равен $30^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 30^\circ$. Его абсолютная величина: $|30^\circ| = 30^\circ$.
При $n=-1$, угол равен $30^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = -330^\circ$. Его абсолютная величина: $|-330^\circ| = 330^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $30^\circ$.

Подбираем $n$:
При $n=0$, угол равен $-120^\circ + 360^\circ \cdot 0 = -120^\circ$. Его абсолютная величина: $|-120^\circ| = 120^\circ$.
При $n=1$, угол равен $-120^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 240^\circ$. Его абсолютная величина: $|240^\circ| = 240^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $120^\circ$.

Подбираем $n$:
При $n=0$, угол равен $270^\circ$. Его абсолютная величина: $|270^\circ| = 270^\circ$.
При $n=-1$, угол равен $270^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = -90^\circ$. Его абсолютная величина: $|-90^\circ| = 90^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $90^\circ$.

Подбираем $n$:
При $n=0$, угол равен $-270^\circ$. Его абсолютная величина: $|-270^\circ| = 270^\circ$.
При $n=1$, угол равен $-270^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 90^\circ$. Его абсолютная величина: $|90^\circ| = 90^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $90^\circ$.

Подбираем $n$:
При $n=-1$, угол равен $400^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 40^\circ$. Его абсолютная величина: $|40^\circ| = 40^\circ$.
При $n=0$, угол равен $400^\circ$. Его абсолютная величина: $|400^\circ| = 400^\circ$.
При $n=-2$, угол равен $400^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = -320^\circ$. Его абсолютная величина: $|-320^\circ| = 320^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $40^\circ$.

Подбираем $n$ так, чтобы значение $360^\circ \cdot n$ было близко к $700^\circ$. Поскольку $700 \div 360 \approx 1.94$, ближайшее целое число это $n=2$.
При $n=2$, угол равен $-700^\circ + 360^\circ \cdot 2 = -700^\circ + 720^\circ = 20^\circ$. Его абсолютная величина: $|20^\circ| = 20^\circ$.
При $n=1$, угол равен $-700^\circ + 360^\circ \cdot 1 = -340^\circ$. Его абсолютная величина: $|-340^\circ| = 340^\circ$.
Наименьшая абсолютная величина в этой серии равна $20^\circ$.

Сравним наименьшие абсолютные величины, найденные для каждой серии: $30^\circ, 120^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 40^\circ, 20^\circ$.

Наименьшее из этих значений — $20^\circ$. Этот модуль соответствует углу $20^\circ$, который получен из серии е).

Ответ: $20^\circ$