Номер 525, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

525. а) Определите по рисунку 70, а наименьшую по абсолютной величине градусную меру углов $AOB$, $AOC$, $AOD$.

б) Определите по рисунку 70, б—г наименьшую по абсолютной величине градусную меру углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $AOE$.

a)

Для решения задачи используется рисунок 70, а. За начальный луч OA принимается положительное направление оси Ox. Положительным направлением поворота считается направление против часовой стрелки. Наименьшая по абсолютной величине градусная мера угла — это значение угла $\alpha$ в промежутке $(-180^\circ, 180^\circ]$.

Для угла AOB: Луч OB образует с лучом OA угол $45^\circ$. Это значение является наименьшим по абсолютной величине.

Для угла AOC: Луч OC совпадает с положительным направлением оси Oy, что соответствует углу $90^\circ$. Это значение является наименьшим по абсолютной величине.

Для угла AOD: Луч OD находится во второй четверти. Угол между ним и отрицательным направлением оси Ox равен $45^\circ$. Следовательно, угол, отсчитываемый от OA против часовой стрелки, равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Это значение является наименьшим по абсолютной величине.

Ответ: $\angle AOB = 45^\circ$; $\angle AOC = 90^\circ$; $\angle AOD = 135^\circ$.

б)

Для решения задачи используются рисунки 70, б, в, г. За начальный луч OA принимается положительное направление оси Ox. Наименьшую по абсолютной величине меру угла $\alpha$ ищем в промежутке $(-180^\circ, 180^\circ]$.

Для рисунка 70, б:

$\angle AOB$: Луч OB образует с лучом OA угол $60^\circ$, поэтому $\angle AOB = 60^\circ$.

$\angle AOC$: Луч OC находится во второй четверти и образует с отрицательным направлением оси Ox угол $30^\circ$, поэтому $\angle AOC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

$\angle AOD$: Луч OD находится в третьей четверти. Угол, измеренный по часовой стрелке (отрицательное направление), равен $-(180^\circ - 60^\circ) = -120^\circ$. Это наименьшая по модулю мера, так как $|-120^\circ| < |180^\circ + 60^\circ|$. Поэтому $\angle AOD = -120^\circ$.

$\angle AOE$: Луч OE находится в четвертой четверти, угол измеряется по часовой стрелке и равен $30^\circ$. Поэтому $\angle AOE = -30^\circ$.

Ответ: $\angle AOB = 60^\circ$; $\angle AOC = 150^\circ$; $\angle AOD = -120^\circ$; $\angle AOE = -30^\circ$.

Для рисунка 70, в:

$\angle AOB$: Луч OB совпадает с положительным направлением оси Oy, поэтому $\angle AOB = 90^\circ$.

$\angle AOC$: Луч OC совпадает с отрицательным направлением оси Ox, поэтому $\angle AOC = 180^\circ$.

$\angle AOD$: Луч OD в четвертой четверти. Угол по часовой стрелке до отрицательной оси Oy равен $-90^\circ$, и еще $-45^\circ$ до луча OD. Итого $\angle AOD = -90^\circ - 45^\circ = -135^\circ$.

$\angle AOE$: Луч OE в четвертой четверти. Угол измеряется по часовой стрелке и равен $45^\circ$. Поэтому $\angle AOE = -45^\circ$.

Ответ: $\angle AOB = 90^\circ$; $\angle AOC = 180^\circ$; $\angle AOD = -135^\circ$; $\angle AOE = -45^\circ$.

Для рисунка 70, г:

$\angle AOB$: Луч OB в первой четверти. Угол от положительной оси Oy равен $30^\circ$. Поэтому $\angle AOB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

$\angle AOC$: Луч OC во второй четверти. Угол от положительной оси Oy равен $30^\circ$. Поэтому $\angle AOC = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.

$\angle AOD$: Луч OD совпадает с отрицательным направлением оси Oy. Угол по часовой стрелке равен $-90^\circ$. Поэтому $\angle AOD = -90^\circ$.

$\angle AOE$: Луч OE в четвертой четверти. Угол от отрицательной оси Oy равен $60^\circ$. Угол от положительной оси Ox по часовой стрелке равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Поэтому $\angle AOE = -30^\circ$.

Ответ: $\angle AOB = 60^\circ$; $\angle AOC = 120^\circ$; $\angle AOD = -90^\circ$; $\angle AOE = -30^\circ$.