Номер 526, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Для построения этих углов в координатной плоскости мы используем оси координат. По определению, начальная сторона угла совпадает с положительным направлением оси $Ox$. Положительные углы откладываются против часовой стрелки.

Угол 90°: Этот угол составляет четверть полного оборота. Его конечная (терминальная) сторона будет совпадать с положительным направлением оси $Oy$. Для построения достаточно провести луч из начала координат $O(0,0)$ вдоль положительной части оси $Oy$.

Угол 180°: Этот угол составляет половину полного оборота. Его терминальная сторона будет совпадать с отрицательным направлением оси $Ox$. Для построения нужно провести луч из начала координат вдоль отрицательной части оси $Ox$.

Угол 270°: Этот угол составляет три четверти полного оборота ($270° = 3 \times 90°$). Его терминальная сторона будет совпадать с отрицательным направлением оси $Oy$. Для построения нужно провести луч из начала координат вдоль отрицательной части оси $Oy$.

Угол 360°: Этот угол соответствует полному обороту. Его терминальная сторона совпадает с начальной стороной, то есть с положительным направлением оси $Ox$.

Ответ: Угол $90°$ строится как луч, идущий из начала координат по положительному направлению оси $Oy$; угол $180°$ — по отрицательному направлению оси $Ox$; угол $270°$ — по отрицательному направлению оси $Oy$; угол $360°$ — по положительному направлению оси $Ox$.

Данные углы кратны $45°$. Их терминальные стороны являются биссектрисами координатных четвертей. Для построения мы можем использовать тот факт, что для угла $45°$ тангенс равен $1$, то есть для любой точки $(x, y)$ на его терминальной стороне $y=x$.

Угол 45°: Находится в I четверти. Его терминальная сторона — это луч прямой $y=x$ при $x > 0$. Чтобы построить его, нужно отметить любую точку с равными положительными координатами, например, $(1, 1)$, $(2, 2)$ или $(3, 3)$, и провести через неё луч из начала координат.

Угол 135°: Находится во II четверти ($135° = 180° - 45°$). Его терминальная сторона — это луч прямой $y=-x$ при $x < 0$. Для построения отметим точку, у которой абсцисса и ордината равны по модулю, но противоположны по знаку, причем $x<0$, например, $(-1, 1)$, и соединим её с началом координат.

Угол 225°: Находится в III четверти ($225° = 180° + 45°$). Его терминальная сторона — это луч прямой $y=x$ при $x < 0$. Для построения отметим точку с равными отрицательными координатами, например, $(-1, -1)$, и соединим её с началом координат.

Угол 315°: Находится в IV четверти ($315° = 360° - 45°$). Его терминальная сторона — это луч прямой $y=-x$ при $x > 0$. Для построения отметим точку, у которой абсцисса и ордината равны по модулю, но противоположны по знаку, причем $x>0$, например, $(1, -1)$, и соединим её с началом координат.

Ответ: Для построения углов $45°, 135°, 225°, 315°$ нужно провести лучи из начала координат через точки $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$ и $(1, -1)$ соответственно.

Эти углы связаны со сторонами равностороннего треугольника или, что то же самое, с тригонометрическими функциями угла $60°$: $\cos(60°) = 1/2$, $\sin(60°) = \sqrt{3}/2$. Для построения можно использовать окружность и прямую. Выберем окружность с центром в начале координат и радиусом $R=2$.

Угол 60°: Находится в I четверти. Координаты точки на окружности радиуса $R=2$ будут $x = 2 \cos(60°) = 1$, $y = 2 \sin(60°) = \sqrt{3}$. Чтобы построить угол, нужно найти пересечение окружности $x^2+y^2=4$ и вертикальной прямой $x=1$ в I четверти. Соединив эту точку $(1, \sqrt{3})$ с началом координат, получим нужный угол.

Угол 120°: Находится во II четверти ($120°=180°-60°$). Координаты точки: $x = 2 \cos(120°) = -1$, $y = 2 \sin(120°) = \sqrt{3}$. Строим пересечение окружности $x^2+y^2=4$ и прямой $x=-1$ во II четверти. Соединяем точку $(-1, \sqrt{3})$ с началом координат.

Угол 240°: Находится в III четверти ($240°=180°+60°$). Координаты точки: $x = 2 \cos(240°) = -1$, $y = 2 \sin(240°) = -\sqrt{3}$. Строим пересечение окружности $x^2+y^2=4$ и прямой $x=-1$ в III четверти. Соединяем точку $(-1, -\sqrt{3})$ с началом координат.

Угол 300°: Находится в IV четверти ($300°=360°-60°$). Координаты точки: $x = 2 \cos(300°) = 1$, $y = 2 \sin(300°) = -\sqrt{3}$. Строим пересечение окружности $x^2+y^2=4$ и прямой $x=1$ в IV четверти. Соединяем точку $(1, -\sqrt{3})$ с началом координат.

Ответ: Углы строятся проведением лучей из начала координат через точки пересечения окружности $x^2+y^2=4$ с прямыми: $x=1$ в I четверти (для $60°$), $x=-1$ во II четверти (для $120°$), $x=-1$ в III четверти (для $240°$) и $x=1$ в IV четверти (для $300°$).

Эти углы связаны с тригонометрическими функциями угла $30°$: $\cos(30°) = \sqrt{3}/2$, $\sin(30°) = 1/2$. Для построения также используем окружность радиусом $R=2$ с центром в начале координат.

Угол 30°: Находится в I четверти. Координаты точки на окружности $R=2$: $x = 2 \cos(30°) = \sqrt{3}$, $y = 2 \sin(30°) = 1$. Для построения находим пересечение окружности $x^2+y^2=4$ и горизонтальной прямой $y=1$ в I четверти. Соединяем точку $(\sqrt{3}, 1)$ с началом координат.

Угол 150°: Находится во II четверти ($150°=180°-30°$). Координаты точки: $x = 2 \cos(150°) = -\sqrt{3}$, $y = 2 \sin(150°) = 1$. Строим пересечение окружности $x^2+y^2=4$ и прямой $y=1$ во II четверти. Соединяем точку $(-\sqrt{3}, 1)$ с началом координат.

Угол 210°: Находится в III четверти ($210°=180°+30°$). Координаты точки: $x = 2 \cos(210°) = -\sqrt{3}$, $y = 2 \sin(210°) = -1$. Строим пересечение окружности $x^2+y^2=4$ и прямой $y=-1$ в III четверти. Соединяем точку $(-\sqrt{3}, -1)$ с началом координат.

Угол 330°: Находится в IV четверти ($330°=360°-30°$). Координаты точки: $x = 2 \cos(330°) = \sqrt{3}$, $y = 2 \sin(330°) = -1$. Строим пересечение окружности $x^2+y^2=4$ и прямой $y=-1$ в IV четверти. Соединяем точку $(\sqrt{3}, -1)$ с началом координат.

Ответ: Углы строятся проведением лучей из начала координат через точки пересечения окружности $x^2+y^2=4$ с прямыми: $y=1$ в I четверти (для $30°$), $y=1$ во II четверти (для $150°$), $y=-1$ в III четверти (для $210°$) и $y=-1$ в IV четверти (для $330°$).

Отрицательные углы откладываются по часовой стрелке от положительного направления оси $Ox$.

Угол -45°: Откладывается по часовой стрелке на $45°$. Его терминальная сторона совпадает с терминальной стороной угла $360° - 45° = 315°$. Это биссектриса IV четверти. Строится проведением луча из начала координат через точку $(1, -1)$.

Угол -90°: Откладывается по часовой стрелке на $90°$. Его терминальная сторона совпадает с отрицательным направлением оси $Oy$. Это то же самое, что и угол $270°$.

Угол -135°: Откладывается по часовой стрелке на $135°$. Его терминальная сторона совпадает с терминальной стороной угла $360° - 135° = 225°$. Это биссектриса III четверти. Строится проведением луча из начала координат через точку $(-1, -1)$.

Угол -180°: Откладывается по часовой стрелке на $180°$. Его терминальная сторона совпадает с отрицательным направлением оси $Ox$. Это то же самое, что и угол $180°$.

Ответ: Для построения углов $-45°, -90°, -135°, -180°$ нужно провести лучи из начала координат через точку $(1, -1)$, вдоль отрицательной оси $Oy$, через точку $(-1, -1)$ и вдоль отрицательной оси $Ox$ соответственно.

Данные отрицательные углы откладываются по часовой стрелке. Их построение аналогично построению соответствующих положительных углов $360° - |\alpha|$.

Угол -60°: Терминальная сторона этого угла совпадает со стороной угла $300°$. Для его построения, как и в пункте в), находим точку пересечения окружности $x^2+y^2=4$ и прямой $x=1$ в IV четверти и соединяем ее с началом координат.

Угол -120°: Терминальная сторона совпадает со стороной угла $240°$. Находим точку пересечения окружности $x^2+y^2=4$ и прямой $x=-1$ в III четверти.

Угол -240°: Терминальная сторона совпадает со стороной угла $120°$. Находим точку пересечения окружности $x^2+y^2=4$ и прямой $x=-1$ во II четверти.

Угол -300°: Терминальная сторона совпадает со стороной угла $60°$. Находим точку пересечения окружности $x^2+y^2=4$ и прямой $x=1$ в I четверти.

Ответ: Построение этих углов сводится к построению углов $300°, 240°, 120°, 60°$ соответственно, как это описано в решении пункта в).