Номер 527, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

527. Укажите несколько положительных и отрицательных углов, образованных такими поворотами, при каждом из которых угол между начальным и конечным положением подвижного вектора равен $30^\circ$, $-45^\circ$, $60^\circ$, $-90^\circ$.

Чтобы найти другие углы поворота, которые приводят к тому же конечному положению подвижного вектора, необходимо к исходному углу прибавить или вычесть целое число полных оборотов. Полный оборот составляет $360^\circ$.

Таким образом, все углы $ \beta $, соответствующие тому же положению, что и угол $ \alpha $, можно найти по общей формуле:
$ \beta = \alpha + 360^\circ \cdot k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Для каждого заданного угла найдем несколько примеров положительных и отрицательных углов, подставляя различные целые значения $ k $.

30°
Для угла $ \alpha = 30^\circ $ формула имеет вид: $ \beta = 30^\circ + 360^\circ \cdot k $.
Примеры положительных углов:
- При $ k = 1 $: $ \beta = 30^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 390^\circ $.
- При $ k = 2 $: $ \beta = 30^\circ + 360^\circ \cdot 2 = 30^\circ + 720^\circ = 750^\circ $.
(Сам угол $ 30^\circ $ также является положительным углом, соответствующим $ k=0 $).
Примеры отрицательных углов:
- При $ k = -1 $: $ \beta = 30^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 30^\circ - 360^\circ = -330^\circ $.
- При $ k = -2 $: $ \beta = 30^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = 30^\circ - 720^\circ = -690^\circ $.
Ответ: например, положительные углы $ 390^\circ, 750^\circ $; отрицательные углы $ -330^\circ, -690^\circ $.

-45°
Для угла $ \alpha = -45^\circ $ формула имеет вид: $ \beta = -45^\circ + 360^\circ \cdot k $.
Примеры положительных углов:
- При $ k = 1 $: $ \beta = -45^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 315^\circ $.
- При $ k = 2 $: $ \beta = -45^\circ + 360^\circ \cdot 2 = -45^\circ + 720^\circ = 675^\circ $.
Примеры отрицательных углов:
- При $ k = 0 $: $ \beta = -45^\circ $ (исходный угол).
- При $ k = -1 $: $ \beta = -45^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = -45^\circ - 360^\circ = -405^\circ $.
- При $ k = -2 $: $ \beta = -45^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = -45^\circ - 720^\circ = -765^\circ $.
Ответ: например, положительные углы $ 315^\circ, 675^\circ $; отрицательные углы $ -405^\circ, -765^\circ $.

60°
Для угла $ \alpha = 60^\circ $ формула имеет вид: $ \beta = 60^\circ + 360^\circ \cdot k $.
Примеры положительных углов:
- При $ k = 1 $: $ \beta = 60^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 420^\circ $.
- При $ k = 2 $: $ \beta = 60^\circ + 360^\circ \cdot 2 = 60^\circ + 720^\circ = 780^\circ $.
(Сам угол $ 60^\circ $ также является положительным углом, соответствующим $ k=0 $).
Примеры отрицательных углов:
- При $ k = -1 $: $ \beta = 60^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 60^\circ - 360^\circ = -300^\circ $.
- При $ k = -2 $: $ \beta = 60^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = 60^\circ - 720^\circ = -660^\circ $.
Ответ: например, положительные углы $ 420^\circ, 780^\circ $; отрицательные углы $ -300^\circ, -660^\circ $.

-90°
Для угла $ \alpha = -90^\circ $ формула имеет вид: $ \beta = -90^\circ + 360^\circ \cdot k $.
Примеры положительных углов:
- При $ k = 1 $: $ \beta = -90^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 270^\circ $.
- При $ k = 2 $: $ \beta = -90^\circ + 360^\circ \cdot 2 = -90^\circ + 720^\circ = 630^\circ $.
Примеры отрицательных углов:
- При $ k = 0 $: $ \beta = -90^\circ $ (исходный угол).
- При $ k = -1 $: $ \beta = -90^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = -90^\circ - 360^\circ = -450^\circ $.
- При $ k = -2 $: $ \beta = -90^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = -90^\circ - 720^\circ = -810^\circ $.
Ответ: например, положительные углы $ 270^\circ, 630^\circ $; отрицательные углы $ -450^\circ, -810^\circ $.