Страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

555. Исследуем.

Если отмечать на единичной окружности точки, соответствующие углам, радианная мера которых равна $1, 2, 3, 4, \dots$, могут ли какие-нибудь из этих точек совпасть?

Для того чтобы две точки на единичной окружности совпали, разность их углов, выраженных в радианах, должна быть равна целому числу полных оборотов. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Таким образом, разность углов должна быть равна $2\pi k$ для некоторого целого числа $k$.

Предположим, что две точки, соответствующие углам в $m$ и $n$ радиан, могут совпасть. Пусть $m$ и $n$ — это различные натуральные числа из последовательности 1, 2, 3, 4, ... Для определенности, пусть $n > m$.

Если точки совпадают, то должно выполняться равенство:

$n - m = 2\pi k$

где $k$ — некоторое натуральное число (так как $n > m$, разность $n-m$ положительна, следовательно, $k$ тоже должно быть положительным целым числом).

Разность двух натуральных чисел $n$ и $m$ также является натуральным числом. Обозначим эту разность $d = n - m$. Тогда наше равенство принимает вид:

$d = 2\pi k$

Выразим из этого уравнения число $\pi$:

$\pi = \frac{d}{2k}$

В этом выражении $d$ и $k$ — натуральные числа. Следовательно, дробь $\frac{d}{2k}$ является отношением двух целых чисел, то есть представляет собой рациональное число.

Однако известно, что число $\pi$ является иррациональным. Иррациональное число по определению не может быть представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа. Мы пришли к противоречию: иррациональное число $\pi$ оказалось равным рациональному числу $\frac{d}{2k}$.

Это противоречие означает, что наше исходное предположение о том, что две точки могут совпасть, было неверным.

Ответ: Нет, никакие из этих точек совпасть не могут.

556. Определите знак числа:

а) $\sin 4$;

б) $\cos \frac{3\pi}{4}$;

в) $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)$;

г) $\cos (-4)$.

а) Чтобы определить знак числа $\sin 4$, необходимо установить, в какой четверти единичной окружности находится угол в 4 радиана. Для этого сравним число 4 с границами четвертей, выраженными в радианах, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$.
Первая четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
Вторая четверть: от $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ до $\pi \approx 3.14$.
Третья четверть: от $\pi \approx 3.14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$.
Так как выполняется неравенство $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (или $3.14 < 4 < 4.71$), угол в 4 радиана расположен в третьей четверти. В третьей четверти значения функции синус отрицательны. Следовательно, $\sin 4 < 0$.
Ответ: минус.

б) Чтобы определить знак числа $\cos \frac{3\pi}{4}$, установим, в какой четверти единичной окружности находится угол $\frac{3\pi}{4}$.
Сравним значение угла с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$, так как $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}$.
Это означает, что угол $\frac{3\pi}{4}$ расположен во второй четверти. Во второй четверти значения функции косинус отрицательны. Следовательно, $\cos \frac{3\pi}{4} < 0$.
Ответ: минус.

в) Чтобы определить знак числа $\sin(-\frac{\pi}{2})$, можно использовать свойство нечетности синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
Применяя это свойство, получаем: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, то $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Число -1 отрицательное.
Ответ: минус.

г) Чтобы определить знак числа $\cos(-4)$, можно использовать свойство четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
Применяя это свойство, получаем: $\cos(-4) = \cos(4)$.
Задача сводится к определению знака $\cos 4$. Как было установлено в пункте а), угол в 4 радиана расположен в третьей четверти. В третьей четверти значения функции косинус отрицательны. Следовательно, $\cos 4 < 0$, а значит и $\cos(-4) < 0$.
Ответ: минус.

557. Выполняется ли равенство $\cos \alpha = \sin \alpha$ при каком-нибудь $\alpha$? Проиллюстрируйте своё решение на рисунке.

Да, данное равенство выполняется. Чтобы найти значения угла $α$, для которых оно справедливо, решим уравнение $\cos α = \sin α$.

Предположим, что $\cos α \neq 0$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $\cos α$: $$ \frac{\sin α}{\cos α} = 1 $$ Используя тригонометрическое тождество $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$, получаем: $$ \tan α = 1 $$ Решениями этого уравнения являются: $$ α = \arctan(1) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$ $$ α = \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$ В градусной мере это записывается как $α = 45^\circ + 180^\circ n$, где $n$ — целое число.

Отметим, что для найденных значений $α$, $\cos α$ не равен нулю (он принимает значения $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$), поэтому наше допущение было верным и деление было корректной операцией.

Проиллюстрируйте своё решение на рисунке.

Геометрическая интерпретация этого равенства видна на единичной окружности. Для любой точки на окружности, отвечающей углу $α$, ее декартовы координаты равны $(x, y) = (\cos α, \sin α)$. Условие $\cos α = \sin α$ означает, что абсцисса точки равна ее ординате, то есть $x = y$.

Это уравнение задает прямую, проходящую через начало координат под углом $45^\circ$ к оси Ox. Точки, в которых эта прямая пересекает единичную окружность ($x^2 + y^2 = 1$), и будут соответствовать искомым углам $α$.

Как видно из рисунка, существуют две точки пересечения:

• Точка $P_1$ в первой координатной четверти, которой соответствует угол $α = 45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан. В этой точке $\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Точка $P_2$ в третьей координатной четверти, которой соответствует угол $α = 225^\circ$ или $\frac{5\pi}{4}$ радиан. В этой точке $\cos(225^\circ) = \sin(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Все решения уравнения можно объединить в одну серию, так как углы $45^\circ$ и $225^\circ$ отличаются на $180^\circ$.

Ответ: Да, равенство выполняется при $α = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число (или $α = 45^\circ + 180^\circ n$).

558. Отметьте на единичной окружности точки, соответствующие углам α, для которых:

а) $ \cos \alpha > 0; $

б) $ \cos \alpha < 0; $

в) $ \sin \alpha \le 0; $

г) $ \sin \alpha \ge 0. $

Для решения задачи воспользуемся определением синуса и косинуса на единичной окружности. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Каждому углу $ \alpha $ соответствует точка $ P(x, y) $ на этой окружности, где абсцисса $ x = \cos\alpha $ и ордината $ y = \sin\alpha $.

а) $ \cos\alpha > 0 $

Неравенство $ \cos\alpha > 0 $ означает, что абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности должна быть положительной. Точки с положительной абсциссой находятся в правой полуплоскости, то есть справа от оси ординат (оси Oy). На единичной окружности это дуга, расположенная в I и IV координатных четвертях. Граничные точки, лежащие на оси Oy (соответствующие углам $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{2} $), не включаются, так как в них $ \cos\alpha = 0 $.

Ответ: Отметить следует все точки на единичной окружности, находящиеся в правой полуплоскости (I и IV четверти). Это открытая дуга, концами которой являются точки пересечения окружности с осью Oy. Эта дуга соответствует углам $ \alpha $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n) $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos\alpha < 0 $

Неравенство $ \cos\alpha < 0 $ означает, что абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности должна быть отрицательной. Точки с отрицательной абсциссой находятся в левой полуплоскости, то есть слева от оси ординат (оси Oy). На единичной окружности это дуга, расположенная во II и III координатных четвертях. Граничные точки, лежащие на оси Oy (соответствующие углам $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{2} $), не включаются, так как в них $ \cos\alpha = 0 $.

Ответ: Отметить следует все точки на единичной окружности, находящиеся в левой полуплоскости (II и III четверти). Это открытая дуга, концами которой являются точки пересечения окружности с осью Oy. Эта дуга соответствует углам $ \alpha $ из интервала $ (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n) $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin\alpha \le 0 $

Неравенство $ \sin\alpha \le 0 $ означает, что ордината (координата $y$) точки на единичной окружности должна быть отрицательной или равной нулю. Точки с неположительной ординатой находятся в нижней полуплоскости, то есть ниже оси абсцисс (оси Ox) или на самой оси. На единичной окружности это дуга, расположенная в III и IV координатных четвертях, включая точки пересечения с осью Ox. Эти точки соответствуют углам $ \pi $ и $ 2\pi $ (или $0$), в них $ \sin\alpha = 0 $.

Ответ: Отметить следует все точки на единичной окружности, находящиеся в нижней полуплоскости, включая точки на оси Ox (III и IV четверти). Это замкнутая дуга (нижняя полуокружность), соответствующая углам $ \alpha \in [\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n] $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sin\alpha \ge 0 $

Неравенство $ \sin\alpha \ge 0 $ означает, что ордината (координата $y$) точки на единичной окружности должна быть положительной или равной нулю. Точки с неотрицательной ординатой находятся в верхней полуплоскости, то есть выше оси абсцисс (оси Ox) или на самой оси. На единичной окружности это дуга, расположенная в I и II координатных четвертях, включая точки пересечения с осью Ox. Эти точки соответствуют углам $ 0 $ и $ \pi $, в них $ \sin\alpha = 0 $.

Ответ: Отметить следует все точки на единичной окружности, находящиеся в верхней полуплоскости, включая точки на оси Ox (I и II четверти). Это замкнутая дуга (верхняя полуокружность), соответствующая углам $ \alpha \in [0 + 2\pi n; \pi + 2\pi n] $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Что больше (559—560):

559. a) $\sin 40^\circ$ или $\sin \frac{\pi}{4}$;

б) $\cos \frac{\pi}{3}$ или $\cos 60^\circ$;

в) $\sin 120^\circ$ или $\sin 130^\circ$;

г) $\cos \frac{3\pi}{4}$ или $\cos \pi$;

д) $\sin 300^\circ$ или $\sin 130^\circ$;

е) $\cos \frac{3\pi}{4}$ или $\cos \frac{\pi}{2}$;

ж) $\sin(-300^\circ)$ или $\cos 120^\circ$;

з) $\cos \frac{13\pi}{4}$ или $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$?

а) Сравним $\sin 40^\circ$ и $\sin \frac{\pi}{4}$.

Сначала переведем радианы в градусы, чтобы работать с одной единицей измерения. Мы знаем, что $\pi$ радиан равно $180^\circ$.

$\frac{\pi}{4} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sin 40^\circ$ и $\sin 45^\circ$. Оба угла, $40^\circ$ и $45^\circ$, находятся в первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$). В этой четверти функция синус является возрастающей, то есть большему углу соответствует большее значение синуса.

Поскольку $40^\circ < 45^\circ$, то и $\sin 40^\circ < \sin 45^\circ$.

Ответ: $\sin 40^\circ < \sin \frac{\pi}{4}$.

б) Сравним $\cos \frac{\pi}{3}$ и $\cos 60^\circ$.

Переведем радианы в градусы:

$\frac{\pi}{3} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Таким образом, мы сравниваем $\cos 60^\circ$ и $\cos 60^\circ$. Эти значения равны.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{3} = \cos 60^\circ$.

в) Сравним $\sin 120^\circ$ и $\sin 130^\circ$.

Оба угла, $120^\circ$ и $130^\circ$, находятся во второй четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$). В этой четверти функция синус является убывающей. Это значит, что большему углу соответствует меньшее значение синуса.

Поскольку $120^\circ < 130^\circ$, то $\sin 120^\circ > \sin 130^\circ$.

Другой способ: можно использовать формулы приведения. $\sin \alpha = \sin(180^\circ - \alpha)$.

$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ$.

$\sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ$.

Теперь сравниваем $\sin 60^\circ$ и $\sin 50^\circ$. В первой четверти синус возрастает, поэтому $\sin 60^\circ > \sin 50^\circ$.

Ответ: $\sin 120^\circ > \sin 130^\circ$.

г) Сравним $\cos \frac{3\pi}{4}$ и $\cos \pi$.

Переведем радианы в градусы:

$\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 135^\circ$.

$\pi = 180^\circ$.

Сравниваем $\cos 135^\circ$ и $\cos 180^\circ$. Углы $135^\circ$ и $180^\circ$ находятся в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$, где функция косинус убывает. Следовательно, большему углу соответствует меньшее значение косинуса.

Поскольку $135^\circ < 180^\circ$, то $\cos 135^\circ > \cos 180^\circ$.

Другой способ: вычислим значения.

$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\cos \pi = -1$.

Сравниваем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$. Очевидно, что $-0.707 > -1$.

Ответ: $\cos \frac{3\pi}{4} > \cos \pi$.

д) Сравним $\sin 300^\circ$ и $\sin 130^\circ$.

Определим знаки синусов. Угол $130^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен ($\sin 130^\circ > 0$).

Угол $300^\circ$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен ($\sin 300^\circ < 0$).

Любое положительное число больше любого отрицательного числа, поэтому $\sin 130^\circ > \sin 300^\circ$.

Ответ: $\sin 130^\circ > \sin 300^\circ$.

е) Сравним $\cos \frac{3\pi}{4}$ и $\cos \frac{\pi}{2}$.

Угол $\frac{3\pi}{4}$ (или $135^\circ$) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. $\cos \frac{3\pi}{4} < 0$.

Значение $\cos \frac{\pi}{2}$ (или $\cos 90^\circ$) равно $0$.

Любое отрицательное число меньше нуля, поэтому $\cos \frac{3\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\cos \frac{3\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{2}$.

ж) Сравним $\sin(-300^\circ)$ и $\cos 120^\circ$.

Упростим каждое выражение. Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ и формулу приведения $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\sin(-300^\circ) = -\sin(300^\circ) = -\sin(360^\circ - 60^\circ) = -(-\sin 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Альтернативно: $\sin(-300^\circ) = \sin(-300^\circ + 360^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь для косинуса, используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

Сравниваем $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{1}{2}$. Положительное число всегда больше отрицательного.

Ответ: $\sin(-300^\circ) > \cos 120^\circ$.

з) Сравним $\cos \frac{13\pi}{4}$ и $\sin(-\frac{\pi}{2})$.

Упростим каждое выражение. Период косинуса равен $2\pi$.

$\frac{13\pi}{4} = \frac{8\pi + 5\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4}$.

$\cos \frac{13\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos \frac{5\pi}{4}$.

Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьей четверти. Используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos \frac{5\pi}{4} = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для синуса используем свойство нечетности:

$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.

Сравниваем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-1$. Так как $\sqrt{2} < 2$, то $\frac{\sqrt{2}}{2} < 1$, а значит $-\frac{\sqrt{2}}{2} > -1$.

Ответ: $\cos \frac{13\pi}{4} > \sin(-\frac{\pi}{2})$.

560. a) $ \sin 3 $ или $ \sin \pi $;

б) $ \cos 4 $ или $ \cos 5 $;

в) $ \sin 1 $ или $ \sin (-1) $;

г) $ \cos (-2) $ или $ \cos 2 $?

а) sin 3 или sin π

Для сравнения значений $ \sin 3 $ и $ \sin \pi $ рассмотрим их аргументы, которые даны в радианах. Мы знаем, что $ \sin \pi = 0 $. Чтобы оценить $ \sin 3 $, определим положение угла в 3 радиана на единичной окружности. Используя приближение $ \pi \approx 3.14159 $, получаем $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $. Таким образом, $ \frac{\pi}{2} < 3 < \pi $, что означает, что угол 3 радиана находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус принимает положительные значения, то есть $ \sin 3 > 0 $. Сравнивая положительное число $ \sin 3 $ и ноль, заключаем, что $ \sin 3 > \sin \pi $. Также можно отметить, что на промежутке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $ функция синуса убывает, и так как $ 3 < \pi $, то $ \sin 3 > \sin \pi $.

Ответ: $ \sin 3 > \sin \pi $.

б) cos 4 или cos 5

Чтобы сравнить $ \cos 4 $ и $ \cos 5 $, определим, в каких координатных четвертях находятся углы 4 и 5 радиан. Используя приближения $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $ и $ 2\pi \approx 6.28 $, мы видим, что $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $. Следовательно, угол 4 радиана находится в третьей четверти, где косинус отрицателен: $ \cos 4 < 0 $. Для угла 5 радиан получаем $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $. Угол 5 радиан находится в четвертой четверти, где косинус положителен: $ \cos 5 > 0 $. Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, $ \cos 5 > \cos 4 $. Этот же результат можно получить, рассмотрев функцию $ y = \cos x $ на промежутке $ [\pi, 2\pi] $, где она возрастает. Так как $ 4 < 5 $, то и $ \cos 4 < \cos 5 $.

Ответ: $ \cos 4 < \cos 5 $.

в) sin 1 или sin(-1)

Для сравнения $ \sin 1 $ и $ \sin(-1) $ воспользуемся свойством нечетности функции синуса: $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Применив это свойство, получаем $ \sin(-1) = -\sin(1) $. Задача сводится к сравнению $ \sin 1 $ и $ -\sin 1 $. Определим знак $ \sin 1 $. Аргумент 1 (радиан) находится в первой координатной четверти, поскольку $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $. В первой четверти синус положителен, значит $ \sin 1 > 0 $. Следовательно, $ -\sin 1 < 0 $. Сравнивая положительное число $ \sin 1 $ и отрицательное $ -\sin 1 $, получаем $ \sin 1 > -\sin 1 $, что равносильно $ \sin 1 > \sin(-1) $.

Ответ: $ \sin 1 > \sin(-1) $.

г) cos(-2) или cos 2?

Чтобы сравнить $ \cos(-2) $ и $ \cos 2 $, воспользуемся свойством четности функции косинуса: $ \cos(-x) = \cos(x) $ для любого $ x $. Применив это свойство для $ x=2 $, мы немедленно получаем равенство: $ \cos(-2) = \cos 2 $. Таким образом, сравниваемые величины равны.

Ответ: $ \cos(-2) = \cos 2 $.

561. Определите знак произведения:

а) $ \cos 130^\circ \cdot \sin 170^\circ $;

б) $ \sin \frac{3\pi}{4} \cdot \cos \frac{2\pi}{3} $;

в) $ \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right) \cdot \cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right) $;

г) $ \cos \frac{11}{4}\pi \cdot \sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right) $.

Чтобы определить знак произведения, нужно определить знак каждого из сомножителей и воспользоваться правилом знаков при умножении.

1. Определим знак $\cos 130^\circ$. Угол $130^\circ$ находится во второй координатной четверти, так как $90^\circ < 130^\circ < 180^\circ$. Косинус во второй четверти отрицателен. Следовательно, $\cos 130^\circ < 0$.

2. Определим знак $\sin 170^\circ$. Угол $170^\circ$ также находится во второй четверти ($90^\circ < 170^\circ < 180^\circ$). Синус во второй четверти положителен. Следовательно, $\sin 170^\circ > 0$.

3. Произведение отрицательного числа и положительного числа является отрицательным числом: $(-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: знак "минус".

1. Определим знак $\sin \frac{3\pi}{4}$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$. Синус во второй четверти положителен. Следовательно, $\sin \frac{3\pi}{4} > 0$.

2. Определим знак $\cos \frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ также находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$. Косинус во второй четверти отрицателен. Следовательно, $\cos \frac{2\pi}{3} < 0$.

3. Произведение положительного числа и отрицательного числа является отрицательным числом: $(+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: знак "минус".

1. Определим знак $\sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right)$. Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-x) = -\sin(x)$. Таким образом, $\sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1) = 1$. Значение положительное, $\sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right) > 0$.

2. Определим знак $\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right)$. Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$. Таким образом, $\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$), где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right) < 0$.

3. Произведение положительного числа и отрицательного числа является отрицательным числом: $(+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: знак "минус".

1. Определим знак $\cos \frac{11\pi}{4}$. Упростим угол, выделив полные обороты ($2\pi$): $\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi+3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}$. Используя периодичность косинуса, получаем $\cos \frac{11\pi}{4} = \cos\left(2\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos \frac{3\pi}{4}$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos \frac{11\pi}{4} < 0$.

2. Определим знак $\sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right)$. Используем нечетность синуса: $\sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right) = -\sin \left(\frac{17\pi}{3}\right)$. Упростим угол $\frac{17\pi}{3} = \frac{12\pi+5\pi}{3} = 4\pi + \frac{5\pi}{3}$. Тогда $\sin \left(\frac{17\pi}{3}\right) = \sin\left(4\pi + \frac{5\pi}{3}\right) = \sin \frac{5\pi}{3}$. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$), где синус отрицателен, т.е. $\sin \frac{5\pi}{3} < 0$. Отсюда $\sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right) = - \left(\sin \frac{5\pi}{3}\right) > 0$.

3. Произведение отрицательного числа и положительного числа является отрицательным числом: $(-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: знак "минус".

Вычислите (562–563):

562. a) $3 \cos 0 + 2 \sin \frac{\pi}{2} - 4 \cos \frac{\pi}{2} - 7 \sin (-\pi)$;

б) $\cos \frac{\pi}{2} - 3 \sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right) + 4 \cos (-2\pi) - 2 \sin (-3\pi)$.

а) $3\cos0 + 2\sin\frac{\pi}{2} - 4\cos\frac{\pi}{2} - 7\sin(-\pi)$

Для решения данного выражения необходимо вычислить значения тригонометрических функций для каждого из аргументов, используя их табличные значения и свойства.

1. Значение косинуса от нуля: $\cos0 = 1$.

2. Значение синуса от $\frac{\pi}{2}$: $\sin\frac{\pi}{2} = 1$.

3. Значение косинуса от $\frac{\pi}{2}$: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$.

4. Для синуса от $-\pi$ используем свойство нечетности функции синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-\pi) = -\sin(\pi)$. Значение $\sin(\pi)$ равно $0$, поэтому $\sin(-\pi) = 0$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$3\cos0 + 2\sin\frac{\pi}{2} - 4\cos\frac{\pi}{2} - 7\sin(-\pi) = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 - 7 \cdot 0$

Выполним арифметические действия:

$3 + 2 - 0 - 0 = 5$

Ответ: 5

б) $\cos\frac{\pi}{2} - 3\sin(-\frac{3\pi}{4}) + 4\cos(-2\pi) - 2\sin(-3\pi)$

Для решения этого выражения также вычислим значения каждой тригонометрической функции.

1. Значение косинуса от $\frac{\pi}{2}$: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$.

2. Для синуса от $-\frac{3\pi}{4}$ используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$, поэтому $\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4})$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, где синус положителен. Используя формулу приведения, $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Для косинуса от $-2\pi$ используем свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$, поэтому $\cos(-2\pi) = \cos(2\pi)$. Учитывая периодичность косинуса с периодом $2\pi$, имеем $\cos(2\pi) = \cos(0) = 1$.

4. Для синуса от $-3\pi$ используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$, поэтому $\sin(-3\pi) = -\sin(3\pi)$. Учитывая периодичность синуса с периодом $2\pi$, имеем $\sin(3\pi) = \sin(\pi + 2\pi) = \sin(\pi) = 0$. Следовательно, $\sin(-3\pi) = 0$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\cos\frac{\pi}{2} - 3\sin(-\frac{3\pi}{4}) + 4\cos(-2\pi) - 2\sin(-3\pi) = 0 - 3 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 2 \cdot 0$

Выполним арифметические действия:

$0 + \frac{3\sqrt{2}}{2} + 4 - 0 = 4 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $4 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

563. a) $\sin \frac{\pi}{4}+\cos \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)-2 \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)+2 \cos \frac{5 \pi}{6};$

б) $3 \cos \frac{\pi}{3}-2 \sin \frac{2 \pi}{3}+7 \cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)-\sin \left(-\frac{5 \pi}{4}\right).$

а) Для решения данного выражения вычислим значения каждого тригонометрического слагаемого, используя свойства четности/нечетности функций, формулы приведения и табличные значения.

Свойства четности/нечетности: $cos(-α) = cos(α)$ и $sin(-α) = -sin(α)$.

Вычислим значения по частям:
1. $sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $cos(-\frac{3\pi}{4}) = cos(\frac{3\pi}{4}) = cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
3. $sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
4. $cos\frac{5\pi}{6} = cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$sin\frac{\pi}{4} + cos(-\frac{3\pi}{4}) - 2sin(-\frac{\pi}{6}) + 2cos\frac{5\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}$.

Ответ: $1 - \sqrt{3}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, вычислим значения каждого слагаемого.

Вычислим значения по частям:
1. $cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
2. $sin\frac{2\pi}{3} = sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
3. $cos(-\frac{2\pi}{3}) = cos(\frac{2\pi}{3}) = cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
4. $sin(-\frac{5\pi}{4}) = -sin(\frac{5\pi}{4}) = -sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -(-sin\frac{\pi}{4}) = sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$3cos\frac{\pi}{3} - 2sin\frac{2\pi}{3} + 7cos(-\frac{2\pi}{3}) - sin(-\frac{5\pi}{4}) = 3 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 7 \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} - \sqrt{3} - \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сгруппируем слагаемые:

$(\frac{3}{2} - \frac{7}{2}) - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-4}{2} - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -2 - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-2 - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$.