Номер 558, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

558. Отметьте на единичной окружности точки, соответствующие углам α, для которых:

а) $ \cos \alpha > 0; $

б) $ \cos \alpha < 0; $

в) $ \sin \alpha \le 0; $

г) $ \sin \alpha \ge 0. $

Для решения задачи воспользуемся определением синуса и косинуса на единичной окружности. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Каждому углу $ \alpha $ соответствует точка $ P(x, y) $ на этой окружности, где абсцисса $ x = \cos\alpha $ и ордината $ y = \sin\alpha $.

а) $ \cos\alpha > 0 $

Неравенство $ \cos\alpha > 0 $ означает, что абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности должна быть положительной. Точки с положительной абсциссой находятся в правой полуплоскости, то есть справа от оси ординат (оси Oy). На единичной окружности это дуга, расположенная в I и IV координатных четвертях. Граничные точки, лежащие на оси Oy (соответствующие углам $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{2} $), не включаются, так как в них $ \cos\alpha = 0 $.

Ответ: Отметить следует все точки на единичной окружности, находящиеся в правой полуплоскости (I и IV четверти). Это открытая дуга, концами которой являются точки пересечения окружности с осью Oy. Эта дуга соответствует углам $ \alpha $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n) $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos\alpha < 0 $

Неравенство $ \cos\alpha < 0 $ означает, что абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности должна быть отрицательной. Точки с отрицательной абсциссой находятся в левой полуплоскости, то есть слева от оси ординат (оси Oy). На единичной окружности это дуга, расположенная во II и III координатных четвертях. Граничные точки, лежащие на оси Oy (соответствующие углам $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{2} $), не включаются, так как в них $ \cos\alpha = 0 $.

Ответ: Отметить следует все точки на единичной окружности, находящиеся в левой полуплоскости (II и III четверти). Это открытая дуга, концами которой являются точки пересечения окружности с осью Oy. Эта дуга соответствует углам $ \alpha $ из интервала $ (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n) $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin\alpha \le 0 $

Неравенство $ \sin\alpha \le 0 $ означает, что ордината (координата $y$) точки на единичной окружности должна быть отрицательной или равной нулю. Точки с неположительной ординатой находятся в нижней полуплоскости, то есть ниже оси абсцисс (оси Ox) или на самой оси. На единичной окружности это дуга, расположенная в III и IV координатных четвертях, включая точки пересечения с осью Ox. Эти точки соответствуют углам $ \pi $ и $ 2\pi $ (или $0$), в них $ \sin\alpha = 0 $.

Ответ: Отметить следует все точки на единичной окружности, находящиеся в нижней полуплоскости, включая точки на оси Ox (III и IV четверти). Это замкнутая дуга (нижняя полуокружность), соответствующая углам $ \alpha \in [\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n] $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sin\alpha \ge 0 $

Неравенство $ \sin\alpha \ge 0 $ означает, что ордината (координата $y$) точки на единичной окружности должна быть положительной или равной нулю. Точки с неотрицательной ординатой находятся в верхней полуплоскости, то есть выше оси абсцисс (оси Ox) или на самой оси. На единичной окружности это дуга, расположенная в I и II координатных четвертях, включая точки пересечения с осью Ox. Эти точки соответствуют углам $ 0 $ и $ \pi $, в них $ \sin\alpha = 0 $.

Ответ: Отметить следует все точки на единичной окружности, находящиеся в верхней полуплоскости, включая точки на оси Ox (I и II четверти). Это замкнутая дуга (верхняя полуокружность), соответствующая углам $ \alpha \in [0 + 2\pi n; \pi + 2\pi n] $, где $ n \in \mathbb{Z} $.