Номер 585, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

585. а) $ \cos 1.6\pi $ и $ \cos 1.68\pi $;

в) $ \cos 5.1\pi $ и $ \cos 5\pi $;

б) $ \sin 4.5 $ и 0;

г) $ \sin 1 $ и $ \cos 1 $.

а) Сравним значения $ \cos(1,6\pi) $ и $ \cos(1,68\pi) $.

Оба угла, $ 1,6\pi $ и $ 1,68\pi $, находятся в IV четверти, так как выполняется неравенство $ 1,5\pi < 1,6\pi < 1,68\pi < 2\pi $. На промежутке $ [1,5\pi, 2\pi] $ функция $ y = \cos(x) $ является возрастающей (её значения увеличиваются от 0 до 1).

Поскольку $ 1,6\pi < 1,68\pi $ и оба аргумента принадлежат интервалу возрастания функции косинус, то значение функции для большего аргумента будет больше.

Следовательно, $ \cos(1,6\pi) < \cos(1,68\pi) $.

Ответ: $ \cos(1,6\pi) < \cos(1,68\pi) $.

б) Сравним значения $ \sin(4,5) $ и $ 0 $.

Для определения знака $ \sin(4,5) $ необходимо определить, в какой четверти находится угол 4,5 радиан. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.

Находим границы четвертей: $ \pi \approx 3,14 $ и $ \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3,14}{2} = 4,71 $.

Так как $ \pi < 4,5 < \frac{3\pi}{2} $, угол 4,5 радиан расположен в III четверти. Синус для любого угла из III четверти является отрицательным.

Следовательно, $ \sin(4,5) < 0 $.

Ответ: $ \sin(4,5) < 0 $.

в) Сравним значения $ \cos(5,1\pi) $ и $ \cos(5\pi) $.

Воспользуемся свойством периодичности функции косинус, период которой равен $ 2\pi $. Мы можем отбрасывать целое число периодов от аргумента функции.

$ \cos(5,1\pi) = \cos(5,1\pi - 2 \cdot 2\pi) = \cos(5,1\pi - 4\pi) = \cos(1,1\pi) $.

$ \cos(5\pi) = \cos(5\pi - 2 \cdot 2\pi) = \cos(5\pi - 4\pi) = \cos(\pi) $.

Значение $ \cos(\pi) $ равно $ -1 $. Угол $ 1,1\pi $ находится в III четверти, так как $ \pi < 1,1\pi < 1,5\pi $. В III четверти косинус принимает значения в интервале от $ -1 $ до $ 0 $. Так как $ 1,1\pi $ не равно $ \pi $, то $ \cos(1,1\pi) > -1 $.

Таким образом, $ \cos(1,1\pi) > \cos(\pi) $, а значит $ \cos(5,1\pi) > \cos(5\pi) $.

Ответ: $ \cos(5,1\pi) > \cos(5\pi) $.

г) Сравним значения $ \sin(1) $ и $ \cos(1) $.

Определим положение угла в 1 радиан на единичной окружности. Используем приближение $ \pi \approx 3,14 $. Тогда $ \frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14}{4} = 0,785 $ и $ \frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57 $.

Поскольку $ \frac{\pi}{4} < 1 < \frac{\pi}{2} $, угол в 1 радиан находится в I четверти, и его величина больше $ \frac{\pi}{4} $.

В I четверти при $ x = \frac{\pi}{4} $ значения синуса и косинуса равны: $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) $. На интервале $ (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $ функция $ y = \sin(x) $ возрастает, а $ y = \cos(x) $ убывает, поэтому для любого угла $ x $ из этого интервала выполняется неравенство $ \sin(x) > \cos(x) $.

Так как $ 1 \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) $, то $ \sin(1) > \cos(1) $.

Ответ: $ \sin(1) > \cos(1) $.