Номер 587, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

587. Упростите выражение:

а) $\sin(-\alpha + \pi)$;

б) $\cos(\alpha - \pi)$;

в) $\sin(\alpha + 7\pi)$;

г) $\cos(\alpha - 9\pi)$.

а) Для упрощения выражения $ \sin(-\alpha + \pi) $ воспользуемся свойствами тригонометрических функций.
Сначала перепишем выражение в более удобном виде, поменяв слагаемые местами: $ \sin(-\alpha + \pi) = \sin(\pi - \alpha) $.
Теперь применим формулу приведения. Формулы приведения позволяют сводить тригонометрические функции от углов вида $ \frac{k\pi}{2} \pm \alpha $ к функциям от угла $ \alpha $. Для угла $ \pi - \alpha $, название функции (синус) не меняется. Чтобы определить знак, представим, что $ \alpha $ — острый угол. Тогда угол $ \pi - \alpha $ находится во второй координатной четверти, где синус положителен.
Таким образом, $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

б) Для упрощения выражения $ \cos(\alpha - \pi) $ воспользуемся четностью функции косинус.
Функция косинус является четной, то есть для любого угла $ x $ выполняется равенство $ \cos(-x) = \cos(x) $. Вынесем знак минус из аргумента:
$ \cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha) $.
Теперь, как и в предыдущем пункте, применим формулу приведения. Для угла $ \pi - \alpha $ название функции (косинус) не меняется. Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

в) Для упрощения выражения $ \sin(\alpha + 7\pi) $ воспользуемся периодичностью функции синус.
Период функции синус равен $ 2\pi $. Это означает, что $ \sin(x + 2k\pi) = \sin(x) $ для любого целого числа $ k $.
Представим $ 7\pi $ как сумму $ \pi + 6\pi $. Число $ 6\pi $ является кратным периоду $ 2\pi $ ($ 6\pi = 3 \cdot 2\pi $).
$ \sin(\alpha + 7\pi) = \sin(\alpha + \pi + 6\pi) $.
Используя свойство периодичности, мы можем отбросить $ 6\pi $:
$ \sin(\alpha + \pi + 6\pi) = \sin(\alpha + \pi) $.
Применим формулу приведения для угла $ \alpha + \pi $. Угол находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Название функции не меняется.
Таким образом, $ \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) $.
Ответ: $ -\sin(\alpha) $

г) Для упрощения выражения $ \cos(\alpha - 9\pi) $ воспользуемся периодичностью и четностью функции косинус.
Период функции косинус равен $ 2\pi $. Мы можем прибавлять или вычитать любое число, кратное $ 2\pi $, из аргумента функции, не изменяя ее значения. Прибавим к аргументу $ 10\pi $ ($ 10\pi = 5 \cdot 2\pi $):
$ \cos(\alpha - 9\pi) = \cos(\alpha - 9\pi + 10\pi) = \cos(\alpha + \pi) $.
Теперь применим формулу приведения. Угол $ \alpha + \pi $ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Название функции не меняется.
Следовательно, $ \cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha) $.
Альтернативный способ:
Используя четность косинуса: $ \cos(\alpha - 9\pi) = \cos(9\pi - \alpha) $.
Используя периодичность: $ \cos(9\pi - \alpha) = \cos(8\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) $.
По формуле приведения: $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $