Номер 586, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

586. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

а) $sin(\pi - \alpha) = sin \alpha;$

б) $cos(\pi - \alpha) = -cos \alpha;$

в) $sin(3\pi - \alpha) = sin \alpha;$

г) $cos(5\pi - \alpha) = -cos \alpha.$

а) Для доказательства справедливости равенства воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$. В нашем случае $x = \pi$ и $y = \alpha$. Подставив эти значения в формулу, получим: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\pi \cos\alpha - \cos\pi \sin\alpha$. Известно, что $\sin\pi = 0$ и $\cos\pi = -1$. Следовательно, выражение принимает вид: $0 \cdot \cos\alpha - (-1) \cdot \sin\alpha = 0 + \sin\alpha = \sin\alpha$. Таким образом, равенство $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ доказано. Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. Применим её для $x = \pi$ и $y = \alpha$: $\cos(\pi - \alpha) = \cos\pi \cos\alpha + \sin\pi \sin\alpha$. Подставим известные значения $\cos\pi = -1$ и $\sin\pi = 0$: $(-1) \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = -\cos\alpha$. Таким образом, равенство $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ доказано. Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя периодичность функции синус. Период синуса равен $2\pi$, поэтому $\sin(z) = \sin(z + 2k\pi)$ для любого целого $k$. В нашем случае: $\sin(3\pi - \alpha) = \sin(2\pi + \pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha)$. Согласно доказанному в пункте а), $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$. Следовательно, $\sin(3\pi - \alpha) = \sin\alpha$. Равенство доказано. Ответ: Равенство доказано.

г) Для доказательства преобразуем левую часть, используя периодичность функции косинус, период которой также равен $2\pi$. $\cos(z) = \cos(z + 2k\pi)$ для любого целого $k$. В нашем случае: $\cos(5\pi - \alpha) = \cos(4\pi + \pi - \alpha) = \cos(2 \cdot 2\pi + (\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha)$. Согласно доказанному в пункте б), $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$. Следовательно, $\cos(5\pi - \alpha) = -\cos\alpha$. Равенство доказано. Ответ: Равенство доказано.