Номер 582, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

582. Расположите в порядке возрастания числа:

a) $ \sin (-55^\circ)$, $\sin 600^\circ$, $\sin 1295^\circ$;

б) $ \cos 653^\circ$, $\cos (-68^\circ)$, $\cos 295^\circ$.

а) Чтобы расположить числа $sin(-55^\circ)$, $sin(600^\circ)$, $sin(1295^\circ)$ в порядке возрастания, приведем аргументы тригонометрических функций к значениям в пределах одного оборота ($[0^\circ, 360^\circ)$), используя свойства периодичности и нечетности синуса.

1. Преобразуем каждое выражение:

• Для $sin(-55^\circ)$ используем свойство нечетности синуса ($sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$):
  $sin(-55^\circ) = -sin(55^\circ)$.
  Угол $55^\circ$ находится в I четверти, где синус положителен, значит $sin(55^\circ) > 0$, а $sin(-55^\circ)$ является отрицательным числом.

• Для $sin(600^\circ)$ используем периодичность синуса (период $360^\circ$):
  $sin(600^\circ) = sin(600^\circ - 360^\circ) = sin(240^\circ)$.
  Угол $240^\circ$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Используя формулу приведения, получим: $sin(240^\circ) = sin(180^\circ + 60^\circ) = -sin(60^\circ)$.

• Для $sin(1295^\circ)$ также используем периодичность. Найдем остаток от деления $1295$ на $360$:
  $1295 = 3 \cdot 360 + 215 = 1080 + 215$.
  Следовательно, $sin(1295^\circ) = sin(3 \cdot 360^\circ + 215^\circ) = sin(215^\circ)$.
  Угол $215^\circ$ находится в III четверти, где синус отрицателен. По формуле приведения: $sin(215^\circ) = sin(180^\circ + 35^\circ) = -sin(35^\circ)$.

2. Сравним полученные значения: $-sin(55^\circ)$, $-sin(60^\circ)$, $-sin(35^\circ)$.

Все три числа отрицательны. Чтобы их сравнить, сначала сравним положительные значения $sin(35^\circ)$, $sin(55^\circ)$ и $sin(60^\circ)$.
В первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция синуса возрастает. Поскольку $35^\circ < 55^\circ < 60^\circ$, то и $sin(35^\circ) < sin(55^\circ) < sin(60^\circ)$.
При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный:
$-sin(60^\circ) < -sin(55^\circ) < -sin(35^\circ)$.

3. Сопоставим с исходными числами:
$sin(600^\circ) < sin(-55^\circ) < sin(1295^\circ)$.

Ответ: $sin(600^\circ)$, $sin(-55^\circ)$, $sin(1295^\circ)$.

б) Чтобы расположить числа $cos(653^\circ)$, $cos(-68^\circ)$, $cos(295^\circ)$ в порядке возрастания, также приведем аргументы к удобному для сравнения виду, используя свойства четности и периодичности косинуса.

1. Преобразуем каждое выражение:

• Для $cos(653^\circ)$ используем периодичность косинуса (период $360^\circ$):
  $cos(653^\circ) = cos(653^\circ - 360^\circ) = cos(293^\circ)$.
  Угол $293^\circ$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Используя формулу приведения, получим: $cos(293^\circ) = cos(360^\circ - 67^\circ) = cos(67^\circ)$.

• Для $cos(-68^\circ)$ используем свойство четности косинуса ($cos(-\alpha) = cos(\alpha)$):
  $cos(-68^\circ) = cos(68^\circ)$.

• Для $cos(295^\circ)$ используем формулу приведения. Угол $295^\circ$ находится в IV четверти, где косинус положителен:
  $cos(295^\circ) = cos(360^\circ - 65^\circ) = cos(65^\circ)$.

2. Сравним полученные значения: $cos(67^\circ)$, $cos(68^\circ)$, $cos(65^\circ)$.

Все три угла ($65^\circ, 67^\circ, 68^\circ$) находятся в первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$), где функция косинуса убывает.
Поскольку $65^\circ < 67^\circ < 68^\circ$, то для значений косинуса будет верным обратное неравенство:
$cos(65^\circ) > cos(67^\circ) > cos(68^\circ)$.

3. Расположим значения в порядке возрастания и сопоставим с исходными числами:
$cos(68^\circ) < cos(67^\circ) < cos(65^\circ)$
Это соответствует порядку: $cos(-68^\circ) < cos(653^\circ) < cos(295^\circ)$.

Ответ: $cos(-68^\circ)$, $cos(653^\circ)$, $cos(295^\circ)$.