Номер 576, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

576. Может ли синус или косинус угла принимать значения, по абсолютной величине большие единицы?

Нет, ни синус, ни косинус угла не могут принимать значения, по абсолютной величине большие единицы. Это следует из их определения.

Рассмотрим два основных подхода к определению синуса и косинуса.

1. Через прямоугольный треугольник (для острых углов)

В прямоугольном треугольнике синус острого угла $\alpha$ определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Поскольку катет в прямоугольном треугольнике всегда короче гипотенузы, то результат деления длины катета на длину гипотенузы всегда будет числом, не превышающим 1. В предельном случае, когда угол стремится к 90° или 0°, один из катетов может стремиться по длине к гипотенузе, и тогда значение синуса или косинуса будет равно 1.

2. Через единичную окружность (для любого угла)

Это более общее определение. Рассмотрим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (единичная окружность). Для любого угла $\alpha$, отложенного от положительного направления оси Ox, косинус и синус определяются как координаты $x$ и $y$ точки пересечения стороны угла с единичной окружностью.

$\cos(\alpha) = x$

$\sin(\alpha) = y$

Уравнение единичной окружности: $x^2 + y^2 = 1$. Подставив в него значения $x$ и $y$, получаем основное тригонометрическое тождество:

$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$

Из этого тождества видно, что и $\sin^2(\alpha)$, и $\cos^2(\alpha)$ не могут быть больше 1, поскольку они являются квадратами действительных чисел и их сумма равна 1.

Если $\cos^2(\alpha) \le 1$, то $|\cos(\alpha)| \le 1$, что эквивалентно $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$.

Аналогично, если $\sin^2(\alpha) \le 1$, то $|\sin(\alpha)| \le 1$, что эквивалентно $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$.

Таким образом, значения синуса и косинуса всегда находятся в диапазоне от -1 до 1 включительно, и их абсолютная величина (модуль) никогда не может быть больше единицы.

Ответ: Нет, не может. Абсолютная величина синуса и косинуса любого вещественного угла не может быть больше единицы. Это математически выражается неравенствами: $|\sin(\alpha)| \le 1$ и $|\cos(\alpha)| \le 1$.