Номер 569, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

569. Возможно ли равенство:

а) $\sin \alpha = -\sqrt{3}$;

б) $\cos \alpha = \sqrt{3}-1$;

в) $\sin \alpha = \frac{\pi}{2}$;

г) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{11}}{3}$;

д) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$;

е) $\cos \alpha = -\frac{\pi}{3}$?

Основное свойство функций синуса и косинуса заключается в том, что их область значений — это отрезок $[-1; 1]$. То есть, для любого угла $\alpha$ должны выполняться неравенства:

$-1 \le \sin \alpha \le 1$

$-1 \le \cos \alpha \le 1$

Чтобы определить, возможно ли каждое из предложенных равенств, нужно проверить, принадлежит ли значение в правой части отрезку $[-1; 1]$.

а) $\sin \alpha = -\sqrt{3}$

Проверим значение $-\sqrt{3}$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, значит $\sqrt{3}$ находится между 1 и 2. Точное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Следовательно, $-\sqrt{3} \approx -1.732$.
Так как $-1.732 < -1$, это значение не входит в область значений функции синус.
Ответ: невозможно.

б) $\cos \alpha = \sqrt{3} - 1$

Проверим значение $\sqrt{3} - 1$. Используя приближение $\sqrt{3} \approx 1.732$, получаем:
$\sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$.
Значение $0.732$ находится в интервале $[-1; 1]$, так как $-1 \le 0.732 \le 1$.
Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: возможно.

в) $\sin \alpha = \frac{\pi}{2}$

Проверим значение $\frac{\pi}{2}$. Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$.
Так как $1.57 > 1$, это значение не входит в область значений функции синус.
Ответ: невозможно.

г) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{11}}{3}$

Проверим, входит ли значение $-\frac{\sqrt{11}}{3}$ в отрезок $[-1; 1]$. Для этого сравним модуль этого числа, $|\mo-\frac{\sqrt{11}}{3}| = \frac{\sqrt{11}}{3}$, с единицей.
Чтобы сравнить $\frac{\sqrt{11}}{3}$ и $1$, возведем оба положительных числа в квадрат:
$(\frac{\sqrt{11}}{3})^2 = \frac{11}{9}$.
Так как $\frac{11}{9} > 1$, то и $\frac{\sqrt{11}}{3} > 1$.
Это означает, что $-\frac{\sqrt{11}}{3} < -1$, и значение не входит в область значений синуса.
Ответ: невозможно.

д) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Проверим, входит ли значение $\frac{\sqrt{7}}{3}$ в отрезок $[-1; 1]$. Сравним его с единицей.
Возведем в квадрат оба положительных числа $\frac{\sqrt{7}}{3}$ и $1$:
$(\frac{\sqrt{7}}{3})^2 = \frac{7}{9}$.
Так как $\frac{7}{9} < 1$, то и $\frac{\sqrt{7}}{3} < 1$.
Поскольку $0 < \frac{\sqrt{7}}{3} < 1$, это значение принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: возможно.

е) $\cos \alpha = -\frac{\pi}{3}$

Проверим значение $-\frac{\pi}{3}$. Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$-\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3.14159}{3} \approx -1.047$.
Так как $-1.047 < -1$, это значение не входит в область значений функции косинус.
Ответ: невозможно.