Номер 590, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

590. Для любого ли угла $\alpha$ справедливо равенство:

а) $cos \alpha = cos |\alpha|$;

б) $sin \alpha = sin |\alpha|$?

а) Рассмотрим равенство $\cos \alpha = \cos |\alpha|$.

Функция косинус является четной. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ выполняется свойство $\cos(-x) = \cos x$.

Проанализируем равенство для двух возможных случаев:

1. Если угол $\alpha$ неотрицателен, то есть $\alpha \ge 0$, тогда $|\alpha| = \alpha$. В этом случае равенство принимает вид $\cos \alpha = \cos \alpha$, что является тождеством и всегда верно.

2. Если угол $\alpha$ отрицателен, то есть $\alpha < 0$, тогда $|\alpha| = -\alpha$. Равенство принимает вид $\cos \alpha = \cos(-\alpha)$. Поскольку функция косинус четная, $\cos(-\alpha)$ равно $\cos \alpha$. Таким образом, мы снова получаем тождество $\cos \alpha = \cos \alpha$, которое также всегда верно.

Так как равенство выполняется как для неотрицательных, так и для отрицательных значений $\alpha$, оно справедливо для любого угла $\alpha$.

Ответ: да, справедливо.

б) Рассмотрим равенство $\sin \alpha = \sin |\alpha|$.

Функция синус является нечетной. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ выполняется свойство $\sin(-x) = -\sin x$.

Проанализируем равенство для двух возможных случаев:

1. Если угол $\alpha$ неотрицателен, то есть $\alpha \ge 0$, тогда $|\alpha| = \alpha$. В этом случае равенство принимает вид $\sin \alpha = \sin \alpha$, что является тождеством и всегда верно.

2. Если угол $\alpha$ отрицателен, то есть $\alpha < 0$, тогда $|\alpha| = -\alpha$. Равенство принимает вид $\sin \alpha = \sin(-\alpha)$. Поскольку функция синус нечетная, $\sin(-\alpha)$ равно $-\sin \alpha$. Равенство преобразуется к виду $\sin \alpha = -\sin \alpha$. Это равенство верно только тогда, когда $\sin \alpha = 0$, то есть при $\alpha = \pi n$, где $n$ – любое целое число. Для других отрицательных углов (например, для тех, что лежат в III и IV четвертях единичной окружности) это равенство не выполняется.

Чтобы доказать, что равенство не является верным для любого угла, достаточно привести один контрпример. Пусть $\alpha = -90^\circ$ (или $-\frac{\pi}{2}$ радиан).
Вычислим левую часть равенства: $\sin \alpha = \sin(-90^\circ) = -1$.
Вычислим правую часть равенства: $\sin |\alpha| = \sin |-90^\circ| = \sin(90^\circ) = 1$.
Так как $-1 \neq 1$, равенство $\sin \alpha = \sin |\alpha|$ не выполняется для данного угла.

Следовательно, равенство не является справедливым для любого угла $\alpha$.

Ответ: нет, не справедливо.