Номер 615, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

615. Вычислите:

a) $\frac{\cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 28^\circ \sin 2^\circ}{\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ}$;

б) $\frac{\sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5} - \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}}$.

а)

Для решения данного примера воспользуемся тригонометрическими формулами сложения углов для косинуса:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Рассмотрим числитель исходной дроби: $\cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 28^\circ \sin 2^\circ$.

Это выражение соответствует формуле косинуса суммы углов, где $\alpha = 2^\circ$ и $\beta = 28^\circ$.

$\cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 2^\circ \sin 28^\circ = \cos(2^\circ + 28^\circ) = \cos 30^\circ$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ$.

Это выражение соответствует формуле косинуса разности углов, где $\alpha = 47^\circ$ и $\beta = 2^\circ$.

$\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ = \cos(47^\circ - 2^\circ) = \cos 45^\circ$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\frac{\cos 30^\circ}{\cos 45^\circ}$

Значения косинусов для этих углов являются табличными:

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Вычислим значение дроби:

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

б)

Для решения этого примера также воспользуемся формулой косинуса суммы углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Рассмотрим числитель дроби: $\sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5} - \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}$.

Вынесем знак минус за скобки, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы:

$-(\cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5})$

Выражение в скобках является косинусом суммы углов $\alpha = \frac{2\pi}{5}$ и $\beta = \frac{3\pi}{5}$.

$- \cos(\frac{2\pi}{5} + \frac{3\pi}{5}) = - \cos(\frac{5\pi}{5}) = - \cos(\pi)$.

Зная, что $\cos(\pi) = -1$, получаем, что числитель равен $-(-1) = 1$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $\sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}$.

Аналогично числителю, вынесем минус за скобки:

$-(\cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} - \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8})$

Выражение в скобках является косинусом суммы углов $\alpha = \frac{\pi}{8}$ и $\beta = \frac{7\pi}{8}$.

$- \cos(\frac{\pi}{8} + \frac{7\pi}{8}) = - \cos(\frac{8\pi}{8}) = - \cos(\pi)$.

Так как $\cos(\pi) = -1$, знаменатель также равен $-(-1) = 1$.

Теперь вычислим значение всей дроби, подставив найденные значения числителя и знаменателя:

$\frac{1}{1} = 1$

Ответ: $1$.