Номер 622, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

622. a) Найдите $ \cos \alpha \cos \beta $, если $ \cos(\alpha + \beta) = 0,2 $, $ \cos(\alpha - \beta) = 0,5 $.

б) Найдите $ \sin \alpha \sin \beta $, если $ \cos(\alpha + \beta) = -\frac{1}{3} $, $ \cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} $.

а) Для решения этой задачи воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Сложим эти два тождества:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$

Упростив правую часть, получим:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$

Из этого уравнения можно выразить искомое произведение:

$\cos\alpha\cos\beta = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2}$

Теперь подставим данные из условия задачи: $\cos(\alpha + \beta) = 0,2$ и $\cos(\alpha - \beta) = 0,5$.

$\cos\alpha\cos\beta = \frac{0,2 + 0,5}{2} = \frac{0,7}{2} = 0,35$

Ответ: $0,35$.

б) Аналогично пункту а), используем формулы косинуса суммы и разности:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Чтобы найти произведение $\sin\alpha\sin\beta$, вычтем первое тождество из второго:

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)$

Упростим правую часть:

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta - \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = 2\sin\alpha\sin\beta$

Отсюда выразим искомое произведение:

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{2}$

Подставим значения из условия: $\cos(\alpha + \beta) = -\frac{1}{3}$ и $\cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5}$.

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{\frac{4}{5} - (-\frac{1}{3})}{2} = \frac{\frac{4}{5} + \frac{1}{3}}{2}$

Приведем дроби в числителе к общему знаменателю 15:

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{\frac{4 \cdot 3}{15} + \frac{1 \cdot 5}{15}}{2} = \frac{\frac{12 + 5}{15}}{2} = \frac{\frac{17}{15}}{2}$

Выполним деление:

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{17}{15 \cdot 2} = \frac{17}{30}$

Ответ: $\frac{17}{30}$.