Номер 625, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (625–626):

625. а) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right); $

б) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right); $

в) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right); $

г) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\right); $

д) $ \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right); $

е) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right). $

а) Для упрощения выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) $ воспользуемся формулой приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.
Следовательно, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) $.
Значение синуса для угла $ \frac{\pi}{6} $ является табличным: $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Для упрощения выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) $ применим формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $. Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.
Таким образом, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) $.
Табличное значение $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

в) Упростим выражение $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) $ с помощью формулы приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $. В данном выражении $ \alpha = \frac{\pi}{3} $.
Получаем: $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) $.
Из таблицы тригонометрических значений известно, что $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

г) Для упрощения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) $ используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $. В этом случае $ \alpha = \frac{2\pi}{3} $.
Значит, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) $.
Угол $ \frac{2\pi}{3} $ находится во второй четверти. Мы можем найти его значение, используя формулу $ \sin(\pi - x) = \sin(x) $.
$ \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

д) Для упрощения выражения $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.
Вынесем минус за скобки в аргументе: $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) $.
Применяя свойство четности, получаем: $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
Теперь используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Следовательно, $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

е) Выражение $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $ является стандартным случаем применения формулы приведения.
Согласно формуле приведения, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $