Страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

633. а) $\sin 150^{\circ}$;

б) $\sin 105^{\circ}$;

в) $\sin 165^{\circ}$;

г) $\sin 195^{\circ}$.

а) sin 150°

Для нахождения значения $\sin(150^\circ)$ воспользуемся формулой приведения. Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Представим $150^\circ$ как разность $180^\circ - 30^\circ$.

Формула приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Применяем формулу:

$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение синуса $30^\circ$ является табличным:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) sin 105°

Угол $105^\circ$ не является табличным, но его можно представить в виде суммы двух табличных углов: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

Подставим $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 45^\circ$:

$\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ)$.

Используем табличные значения тригонометрических функций:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения в формулу:

$\sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

в) sin 165°

Угол $165^\circ$ можно представить как сумму табличных углов или использовать формулы приведения. Представим $165^\circ$ в виде суммы $120^\circ + 45^\circ$.

Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

$\sin(165^\circ) = \sin(120^\circ + 45^\circ) = \sin(120^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(120^\circ)\sin(45^\circ)$.

Найдем значения для $\sin(120^\circ)$ и $\cos(120^\circ)$ с помощью формул приведения:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Теперь подставим все значения в исходную формулу:

$\sin(165^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

г) sin 195°

Угол $195^\circ$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Представим $195^\circ$ как сумму углов $150^\circ + 45^\circ$.

Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

$\sin(195^\circ) = \sin(150^\circ + 45^\circ) = \sin(150^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(150^\circ)\sin(45^\circ)$.

Найдем значения для $\sin(150^\circ)$ и $\cos(150^\circ)$:

$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$\sin(195^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Упростите выражение (634–635):

634. а) $\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right);$

б) $2\cos \left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - 2\sin \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right).$

а) $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) - \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) $

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и формулами преобразования разности синусов в произведение. Сначала преобразуем косинус в синус, используя формулу $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $.

Применим эту формулу к $ \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) $: $ \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $

Далее используем формулу разности синусов: $ \sin A - \sin B = 2\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) $. В нашем случае $ A = \alpha + \frac{\pi}{4} $ и $ B = \frac{\pi}{4} - \alpha $.

Найдем аргументы для синуса и косинуса в формуле:

$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{4}) - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \alpha}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{4}) + (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $

Подставляем найденные значения в формулу преобразования:

$ 2\sin(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ 2\sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\sin\alpha $

Ответ: $ \sqrt{2}\sin\alpha $

б) $ 2\cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) - 2\sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) $

Для упрощения вынесем общий множитель 2 за скобки и преобразуем синус в косинус по формуле приведения $ \sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $.

$ \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi-2\pi}{6} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) $.

Поскольку косинус – четная функция, $ \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \cos(-(\alpha - \frac{\pi}{6})) = \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) $.

Подставим это в исходное выражение:

$ 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - 2\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\right) $

Теперь применим формулу разности косинусов: $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $. В нашем случае $ A = \alpha - \frac{\pi}{3} $ и $ B = \alpha - \frac{\pi}{6} $.

Найдем аргументы для синусов:

$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\alpha - \frac{\pi}{3}) + (\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{2\alpha - \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{2\alpha - \frac{3\pi}{6}}{2} = \frac{2\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = \alpha - \frac{\pi}{4} $

$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\alpha - \frac{\pi}{3}) - (\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{6}}{2} = -\frac{\pi}{12} $

Подставляем в выражение:

$ 2 \cdot \left(-2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right) $

Так как синус – нечетная функция, $ \sin(-\frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{12}) $. Получаем:

$ 2 \cdot \left(-2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\left(-\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)\right) = 4\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) $

Найдем значение $ \sin(\frac{\pi}{12}) $: $ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

Подставим это значение в наше выражение:

$ 4\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = (\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $

Ответ: $ (\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) $

635. a) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2}\cos \alpha$;

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)$;

в) $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha + \cos \alpha)$;

г) $\frac{1}{2}\sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha$.

а) Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha $.

Для преобразования этого выражения воспользуемся формулами сложения для тригонометрических функций. Заметим, что коэффициенты при $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ являются значениями косинуса и синуса угла $\frac{\pi}{6}$:

$ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \sin\alpha \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos\alpha \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $

Полученное выражение является развернутой формулой синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.

В нашем случае $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{6} $. Таким образом, выражение сворачивается в:

$ \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $

Ответ: $ \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $

б) Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $.

Сначала раскроем скобки:

$ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $

Коэффициент $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ является значением как синуса, так и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \cos\alpha \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\alpha \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $

Это выражение соответствует формуле косинуса суммы: $ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $.

Здесь $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{4} $. Следовательно, выражение равно:

$ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $

Ответ: $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $

в) Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) $.

Раскроем скобки:

$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha $

Как и в предыдущем пункте, используем значения синуса и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $. Подставим их так, чтобы получить формулу синуса суммы:

$ \sin\alpha \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\alpha \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $

Это формула синуса суммы: $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.

В данном случае $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{4} $. Таким образом, получаем:

$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $

Ответ: $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $

г) Исходное выражение: $ \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha $.

Коэффициенты $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ являются значениями косинуса и синуса угла $ \frac{\pi}{3} $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \sin\alpha \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\alpha \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $

Это выражение соответствует формуле синуса суммы: $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.

Здесь $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{3} $. Таким образом, выражение упрощается до:

$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) $

Ответ: $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) $

636. Вычислите:

a) $sin(\alpha + \beta)$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ и $sin \alpha = \frac{1}{2}$, $cos \beta = \frac{1}{3}$;

б) $sin(\alpha - \beta)$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ и $cos \alpha = -0,2$, $cos \beta = -0,1$.

а)

Для вычисления $sin(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.

Из условия задачи нам дано: $sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ и $cos(\beta) = \frac{1}{3}$. Углы $\alpha$ и $\beta$ находятся в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$), где синусы и косинусы положительны.

1. Найдем $cos(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Так как $\alpha$ находится в первой четверти, $cos(\alpha) > 0$. Следовательно, $cos(\alpha) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем $sin(\beta)$, используя то же тождество $sin^2(\beta) + cos^2(\beta) = 1$.

$sin^2(\beta) = 1 - cos^2(\beta) = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Так как $\beta$ находится в первой четверти, $sin(\beta) > 0$. Следовательно, $sin(\beta) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

3. Подставим найденные значения в формулу синуса суммы:

$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) = (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{3}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{1}{6} + \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{1 + 2\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: $\frac{1 + 2\sqrt{6}}{6}$

б)

Для вычисления $sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

Из условия задачи нам дано: $cos(\alpha) = -0.2 = -\frac{1}{5}$ и $cos(\beta) = -0.1 = -\frac{1}{10}$. Угол $\alpha$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), а угол $\beta$ - в третьей четверти ($\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$).

1. Найдем $sin(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (-\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$.

Так как $\alpha$ находится во второй четверти, $sin(\alpha) > 0$. Следовательно, $sin(\alpha) = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

2. Найдем $sin(\beta)$, используя то же тождество $sin^2(\beta) + cos^2(\beta) = 1$.

$sin^2(\beta) = 1 - cos^2(\beta) = 1 - (-\frac{1}{10})^2 = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.

Так как $\beta$ находится в третьей четверти, $sin(\beta) < 0$. Следовательно, $sin(\beta) = -\sqrt{\frac{99}{100}} = -\frac{\sqrt{99}}{10} = -\frac{3\sqrt{11}}{10}$.

3. Подставим найденные значения в формулу синуса разности:

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta) = (\frac{2\sqrt{6}}{5}) \cdot (-\frac{1}{10}) - (-\frac{1}{5}) \cdot (-\frac{3\sqrt{11}}{10}) = -\frac{2\sqrt{6}}{50} - \frac{3\sqrt{11}}{50} = \frac{-2\sqrt{6} - 3\sqrt{11}}{50}$.

Ответ: $\frac{-2\sqrt{6} - 3\sqrt{11}}{50}$

637. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

a) $ \sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta $;

б) $ \sin(\alpha - \beta) \sin(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta $.

а)

Для доказательства справедливости данного равенства воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности двух углов:

$sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$

$sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta$

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta) = (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta) + (sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Слагаемые $- cos \alpha sin \beta$ и $+ cos \alpha sin \beta$ взаимно уничтожаются.

$sin \alpha cos \beta + sin \alpha cos \beta = 2 sin \alpha cos \beta$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Таким образом, равенство доказано.

$2 sin \alpha cos \beta = 2 sin \alpha cos \beta$

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства этого равенства также преобразуем его левую часть, используя формулы синуса суммы и разности:

$sin(\alpha - \beta) sin(\alpha + \beta) = (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta)(sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta)$

В правой части этого выражения мы видим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = sin \alpha cos \beta$ и $b = cos \alpha sin \beta$. Применим эту формулу:

$(sin \alpha cos \beta)^2 - (cos \alpha sin \beta)^2 = sin^2 \alpha cos^2 \beta - cos^2 \alpha sin^2 \beta$

Чтобы привести полученное выражение к виду $sin^2 \alpha - sin^2 \beta$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 x + cos^2 x = 1$, из которого выразим $cos^2 x = 1 - sin^2 x$. Заменим $cos^2 \beta$ и $cos^2 \alpha$:

$sin^2 \alpha (1 - sin^2 \beta) - (1 - sin^2 \alpha) sin^2 \beta$

Теперь раскроем скобки:

$sin^2 \alpha - sin^2 \alpha sin^2 \beta - sin^2 \beta + sin^2 \alpha sin^2 \beta$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $- sin^2 \alpha sin^2 \beta$ и $+ sin^2 \alpha sin^2 \beta$ взаимно уничтожаются:

$sin^2 \alpha - sin^2 \beta$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили в точности его правую часть.

$sin^2 \alpha - sin^2 \beta = sin^2 \alpha - sin^2 \beta$

Ответ: Равенство доказано.