Номер 637, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

637. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

a) $ \sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta $;

б) $ \sin(\alpha - \beta) \sin(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta $.

а)

Для доказательства справедливости данного равенства воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности двух углов:

$sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$

$sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta$

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta) = (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta) + (sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Слагаемые $- cos \alpha sin \beta$ и $+ cos \alpha sin \beta$ взаимно уничтожаются.

$sin \alpha cos \beta + sin \alpha cos \beta = 2 sin \alpha cos \beta$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Таким образом, равенство доказано.

$2 sin \alpha cos \beta = 2 sin \alpha cos \beta$

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства этого равенства также преобразуем его левую часть, используя формулы синуса суммы и разности:

$sin(\alpha - \beta) sin(\alpha + \beta) = (sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta)(sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta)$

В правой части этого выражения мы видим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = sin \alpha cos \beta$ и $b = cos \alpha sin \beta$. Применим эту формулу:

$(sin \alpha cos \beta)^2 - (cos \alpha sin \beta)^2 = sin^2 \alpha cos^2 \beta - cos^2 \alpha sin^2 \beta$

Чтобы привести полученное выражение к виду $sin^2 \alpha - sin^2 \beta$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 x + cos^2 x = 1$, из которого выразим $cos^2 x = 1 - sin^2 x$. Заменим $cos^2 \beta$ и $cos^2 \alpha$:

$sin^2 \alpha (1 - sin^2 \beta) - (1 - sin^2 \alpha) sin^2 \beta$

Теперь раскроем скобки:

$sin^2 \alpha - sin^2 \alpha sin^2 \beta - sin^2 \beta + sin^2 \alpha sin^2 \beta$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $- sin^2 \alpha sin^2 \beta$ и $+ sin^2 \alpha sin^2 \beta$ взаимно уничтожаются:

$sin^2 \alpha - sin^2 \beta$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили в точности его правую часть.

$sin^2 \alpha - sin^2 \beta = sin^2 \alpha - sin^2 \beta$

Ответ: Равенство доказано.