Страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

623. a) Найдите $\cos(\alpha + \beta)$, если $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \beta = -\frac{1}{2}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Найдите наименьшее по абсолютной величине значение $(\alpha + \beta)$.

б) Найдите $\cos(\alpha - \beta)$, если $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \beta = -1$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Найдите наименьшее по абсолютной величине значение $(\alpha - \beta)$.

а) Для вычисления $cos(\alpha + \beta)$ используется формула косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin \beta$

Из условия нам известны $cos \alpha = \frac{1}{2}$ и $sin \beta = -\frac{1}{2}$. Найдем недостающие значения $sin \alpha$ и $cos \beta$.

1. Найдем $sin \alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Отсюда $sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как по условию угол $\alpha$ находится в I четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), то его синус положителен. Таким образом, $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем $cos \beta$. Аналогично, из тождества $sin^2 \beta + cos^2 \beta = 1$ получаем:

$cos^2 \beta = 1 - sin^2 \beta = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Отсюда $cos \beta = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. По условию угол $\beta$ находится в III четверти ($\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$), где косинус отрицателен. Таким образом, $cos \beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Подставим найденные значения в формулу косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$.

Теперь найдем наименьшее по абсолютной величине значение $(\alpha + \beta)$.

Сложим неравенства, задающие интервалы для $\alpha$ и $\beta$:

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

$\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$

Получаем: $0 + \pi < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2}$, то есть $\pi < \alpha + \beta < 2\pi$.

Мы нашли, что $cos(\alpha + \beta) = 0$. Общее решение этого уравнения имеет вид $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Из всех решений нам нужно выбрать то, которое попадает в интервал $(\pi, 2\pi)$.

При $k=1$ получаем $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это значение удовлетворяет неравенству $\pi < \frac{3\pi}{2} < 2\pi$.

При других целых значениях $k$ решения не попадают в данный интервал. Следовательно, значение суммы углов определено однозначно.

Ответ: $cos(\alpha + \beta) = 0$; наименьшее по абсолютной величине значение $(\alpha + \beta)$ равно $\frac{3\pi}{2}$.

б) Для вычисления $cos(\alpha - \beta)$ используется формула косинуса разности:

$cos(\alpha - \beta) = cos \alpha \cdot cos \beta + sin \alpha \cdot sin \beta$

Из условия нам известны $sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos \beta = -1$. Найдем недостающие значения $cos \alpha$ и $sin \beta$.

1. Найдем $cos \alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Отсюда $cos \alpha = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как по условию угол $\alpha$ находится в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$), то его косинус положителен. Таким образом, $cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем $sin \beta$. Если $cos \beta = -1$, то из тождества $sin^2 \beta + cos^2 \beta = 1$ получаем $sin^2 \beta + (-1)^2 = 1$, откуда $sin^2 \beta = 0$ и $sin \beta = 0$.

3. Подставим найденные значения в формулу косинуса разности:

$cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-1) + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем наименьшее по абсолютной величине значение $(\alpha - \beta)$.

1. Найдем значение угла $\alpha$. Из условий $sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ однозначно следует, что $\alpha = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

2. Общее решение для уравнения $cos \beta = -1$ имеет вид $\beta = \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

3. Найдем выражение для разности $\alpha - \beta$:

$\alpha - \beta = \frac{7\pi}{4} - (\pi + 2\pi k) = \frac{7\pi}{4} - \frac{4\pi}{4} - 2\pi k = \frac{3\pi}{4} - 2\pi k$.

Нам необходимо найти такое целое $k$, при котором абсолютное значение $|\frac{3\pi}{4} - 2\pi k|$ будет наименьшим.

Рассмотрим значения выражения при разных $k$:

При $k = 0$: $\alpha - \beta = \frac{3\pi}{4}$. $|\frac{3\pi}{4}| = \frac{3\pi}{4}$.

При $k = 1$: $\alpha - \beta = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$. $|-\frac{5\pi}{4}| = \frac{5\pi}{4}$.

При $k = -1$: $\alpha - \beta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$. $|\frac{11\pi}{4}| = \frac{11\pi}{4}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшая абсолютная величина достигается при $k=0$ и равна $\frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $cos(\alpha - \beta) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$; наименьшее по абсолютной величине значение $(\alpha - \beta)$ равно $\frac{3\pi}{4}$.