Номер 697, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

697. а) Что называют относительной погрешностью приближения?

б) Сформулируйте правило оценки относительной погрешности при упрощении записи числа.

а) Относительной погрешностью приближения называют величину, которая характеризует качество приближения и показывает, какую долю от модуля самого приближаемого числа составляет абсолютная погрешность.
Если $x$ — точное значение некоторой величины, а $a$ — её приближенное значение, то абсолютная погрешность равна $\Delta = |x - a|$.
Относительная погрешность $\delta$ (дельта) определяется как отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения $x$ (при условии, что $x \neq 0$): $$ \delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{|x-a|}{|x|} $$ Поскольку точное значение $x$ часто бывает неизвестно, на практике для вычисления относительной погрешности вместо модуля точного значения используют модуль приближенного значения $a$ (при условии, что $a \neq 0$ и близко к $x$): $$ \delta \approx \frac{\Delta}{|a|} = \frac{|x-a|}{|a|} $$ Относительную погрешность для наглядности часто выражают в процентах, для этого полученное значение умножают на 100%. Чем меньше относительная погрешность, тем точнее приближение.
Ответ: Относительной погрешностью приближения называют отношение абсолютной погрешности к модулю приближаемого (точного) значения.

б) При упрощении записи числа, то есть при его округлении, возникает погрешность. Существует правило для оценки относительной погрешности, которая возникает в результате такой операции.
Это правило состоит из двух шагов:
1. Находится граница абсолютной погрешности округления. При округлении числа до определенного разряда абсолютная погрешность не превосходит половины "веса" (или единицы) этого разряда. Например, если число округляют до десятых, то вес этого разряда равен $0,1$, а граница абсолютной погрешности составляет $0,1 / 2 = 0,05$. Если число округляют до целых, то вес разряда единиц равен $1$, а граница абсолютной погрешности — $1 / 2 = 0,5$. Обозначим границу абсолютной погрешности как $\Delta_{пред}$.
2. Оценка относительной погрешности ($\delta$) находится путем деления найденной границы абсолютной погрешности на модуль самого приближенного (округленного) значения ($a$): $$ \delta \le \frac{\Delta_{пред}}{|a|} $$ Таким образом, правило можно сформулировать так: для оценки относительной погрешности при упрощении числа нужно границу абсолютной погрешности округления разделить на модуль полученного приближения.
Ответ: Относительная погрешность, полученная при упрощении (округлении) числа, оценивается как частное от деления границы абсолютной погрешности округления (равной половине единицы разряда, до которого округляли) на модуль полученного приближенного значения.